8.3. Статистические методы моделирования и прогнозирования массовых явлений и процессов

Моделирование - это построение и использование аналоговых моделей (физических, математических, логических) изучаемых процессов с целью исследования их структуры, динамики, закономерностей поведения в заданных условиях и определения оптимальных параметров и результатов для внедрения в практику. Прогнозирование - это научно обоснованное предвидение будущего развития изучаемых объектов, процессов и их моделей для разработки стратегий и долгосрочных перспективных планов их использования (для практического использования).

Корреляционная связь и корреляционный анализ выявляют наличие и величину тесноты связей и взаимозависимости между двумя или несколькими признаками изучаемых процессов и их моделей, и характеризуется изменением среднего значения результативного признака под влиянием факторов с переменной величиной признака. Регрессионная связь и регрессионный анализ выявляют форму и аналитическое выражение (уравнение) корреляционной связи, в котором изменение результативного признака (у_х) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых (х_n). Исходной информацией и материальной основой корреляционно-регрессионного анализа являются данные статистического наблюдения изучаемых массовых явлений и процессов в виде фактических эмпирических (из данных наблюдения) параллельных (в пространстве и во времени) рядов численных значений результирующего (у^ф_i=1,n) и факторного (х^ф_{i=1, n}) признаков (у^ф_i: у^ф₁, у^ф₂ , у^ф ₃ …. у^ф_n ; х^ф_i: х^ф₁ , х^ф₂ , х^ф₃ ….. х^ф_n ), по координатам которых на графике строится эмпирическая ломаная линия у^ф. Метод приведения параллельных данных основан на сопоставлении двух или нескольких рядов статистических единиц (совокупностей) взаимосвязанных массовых явлений или процессов.

8.4. Однофакторная (парная) корреляция. Метод наименьших квадратов (МНК)

Для осуществления корреляционного анализа (выявления корреляционной связи и величины ее тесноты между у^ф_i. и х^ф_i) и регрессионного анализа (установления вида уравнения регрессии между признаками), необходимо по виду фактической (эмпирической) ломаной линии (у_фллi) на графике подобрать вид теоретической типовой линии (у_ттлi), имеющей аналитическое выражение, которая после подстановки в нее фактических значений факторного признака (х^ф_i) становится теоретической аналоговой линией (у_ттлi) и наилучшим образом заменяет и описывает (аппроксимирует) закономерность и основную тенденцию (тренд) развития изучаемого массового экономического процесса.

Корреляционно-регрессионная связь для условий парной корреляции имеет вид: у_хi = f(х_i) + ξ (ξ – влияние случайных факторов). В данной связи из-за влияния случайных факторов (ξ ) управленческие решения принимаются в условиях неопределенности и риска. При выборе и замене ломаной линии прямой линией, имеющей вид у_х = а₀ + а₁х (1). и подстановки в нее фактических значений переменного факторного признака (х^ф_i), она становится теоретической аналоговой линией аппроксимации у^т_хi = а₀ + а₁ х^ф_i (2), т.е. математической моделью регрессии изучаемого массового процесса. Для практического применения уравнения (2) в прогнозировании, планировании, интерполяции и экстраполяции во всем диапазоне возможного существования изучаемого массового процесса, необходимо определить его параметры а₀ и а₁, используя метод наименьших квадратов (МНК), математическое выражение которого имеет вид F_y=Σ(у_i^т – у_i^ф)² →min (3). Подставим в (3) выражение у_i^т из (2): F_y = Σ(а₀ + а₁х_i^ф – у_i^ф)² →min (4). Функция (4) будет иметь наименьшее значение при условии равенства «нулю» ее частных производных по а₀ а₁.

В связи с тем, что функция (4) является сложной функцией F_y [(у (х)] (5), для вывода формул расчета а₀ и а₁ необходимо использовать правила дифференцирования шести видов производных (I-VI). Производная «сложной функции» (5) имеет вид (I) dF / dy * dy / dx = 0 (6). Произведем замену в выражении (4):

(а₀ + а₁х_i – у_i) = z (6), при этом а₀ , а₁ и z становятся (являются, как искомые) переменными величинами, а х и у – постоянными. Тогда выражение (4) при замене переменных будет иметь вид F_y = Σ(а₀ + а₁х_i – у_i)² = Σ(z)² (7), а сложная функция (5) примет значение F_y [z (а₀,а₁)] (7). Дифференцирование сложной функции (7) дает систему производных 2-х сложных функций:

а) dF / dz * dz / dа₀ = 0, б) dF / dz * dz / dа₁= 0 (8).

Проведем последовательно дифференцирование в системе (8).

Для выражения dF / dz = '[Σ(z)²] = 0 применим правило производной от «переменной в степени» (II): '(zⁿ) = n z^n–1. При n = 2 получим: '(z²) = 2 z^2–1 или 2 z = 0 (9). Разделим левую и правую части выражения (9) на «2» и получим z = 0 (10) или с учетом произведенной замены (6)

dF / dz = '[Σ(z)²] = '[Σ(а₀ + а₁х – у )²] = Σ(а₀ + а₁х – у ) = 0 (11).

Для выражения dz / dа₀ = '[а₀ + а₁х – у ]_(dао) = 0 применим правила: производной от «алгебраической суммы» (III) '[а₀ + а₁х – у]_(dао) = '(а₀)+'(а₁x) + '(y) =0 (12); производной от «переменной величины» ('х = 1) (IV) - '(а₀) = 1; производной от «постоянной величины» ('С = 0) (V) - '(а₁x) =0 и '(y) =0 (а₁, x и y - постоянные).

Тогда dz / dа₀ = '[а₀ + а₁х – у ]_(dао) = 1 + 0 + 0 = 1, а выражение (8а) будет иметь вид: dF / dz * dz / dа₀ = Σ(а₀ + а₁х – у ) * 1 = Σ(а₀ + а₁х – у) = 0 или Σа₀ + а₁Σх – Σу = 0, откуда (при Σа₀ = n а₀ ) n а₀ + а₁ Σх = Σу (13).

Для выражения dz / dа₁ = '[а₀ + а₁х – у ]_(dа1) = 0 применим правила дифференцирования (V) в уравнениях (12) и (13) (а₀, x и y - постоянные), а также правило производной от «переменной (а₁) с постоянным множителем (х)» (VI): '(а₁x) = '(а1) * x = 1 * х, тогда '(а₀)+'(а₁x) + '(y) = 0 + 1 * х + 0 = х, а выражение (8б) будет иметь вид dF / dz * dz / dа₁= Σ(а₀ + а₁х – у) * х = 0 или а₀ Σ + а₁Σх² = Σху (14). Таким образом выражения (13) и (14) представляют собой систему совместных уравнений nа₀ +а₁Σх =Σу и а₀ Σ х+ а₁Σх² = Σху (15).

Формулы для расчета параметров (а₀, а₁) уравнения регрессии (2) можно получить из (15), используя метод подстановок соответствующих сумм по фактическим данным из таблицы или метод определителей Крамера (∆₀, ∆_а0, ∆_а1 : а₀ = ∆_а0 /∆₀; а₁ = ∆_а1 / ∆₀). Пронумеруем элементы системы (15) без параметров a₀ и а₁:

(1) n + (2) Σх = (3) Σу и (4) Σх + (5) Σх²= (6) Σху (7а).

По правилам определителей : ∆₀ = (1 * 5) – (2 * 4) = n Σх² – Σх Σх; ∆_а0 = (3 * 5) – (2 * 6) = Σу Σх² - Σх Σху; ∆_а1 = (1 * 6) – (3 * 4) = n Σху - Σх Σу,

откуда ; . (16)

Уравнение (7) можно решить и методом подстановки в него соответствующих сумм из аналитической таблицы расчетных данных.

Обоснованием типичности, значимости и возможности практического использования синтезированной (построенной) модели (2) и ее параметров a₀, а₁, необходима их оценка по условию t-критерия Стьюдента (по его табличному значению t_а0 > t _{кр таб} < t_а1 ), по коэффициенту корреляции r, определяющего тесноту корреляционной связи между у^ф_i. и х^ф_i, по коэффициенту детерминации r², характеризующего долю (%) вариации у^ф_i от влияния х^ф_i с учетом влияния суммы случайных величин на основе уравнения у_хi = f(х_i) + ξ [у_хi = f (r² + ξ )].