5.7. Расчет показателей выборочного наблюдения

Закономерности соотношения вероятности распределения случайных величин (P_t), величины доверительного интервала (t) и среднего квадратического отклонения (σ) для нормального распределения используются для решения задач выборочного метода статистического наблюдения.

ЗАДАЧА 5.5. Выборочный метод анализа и оценки качества продукции.

Дано: При контроле качества продукции предприятия проведено 5%-ое выборочное обследование партии N_u=2000 шт. (генеральной совокупности) изделий. При отборе и обследовании выборочной совокупности (выборки размером - n_в (5%) = 100 шт.) определено, что средний вес изделий в выборке - х_ср = 500,5 г, среднее квадратическое отклонение - s_х = 15,4 г, 90 штук изделий (m) соответствовали требованиям стандарта.

(Кв = Nсп +5; прибавить Кв к n и m)

Необходимо: На основе полученных данных выборки с вероятностью Р = 0,683 (нормированное отклонение t = 1) определить возможные значения доли стандартных изделий Р_г (генеральной доли) и среднего веса изделий Х_г (генеральной средней) всей партии изделий.

Решение. Расчетные формулы: Р_г = ω ± tµ_ω ; Х _{ср г} = х_{ср в} ± tµ_х; ;

1.Доля стандартных изделий в выборке: ω = m_в/n_в = 90/100 = 0,9 (90%).

2. Ошибка выборки. Повторная выборка:

= = 0,03; = √15,4² / 100 = 1,54г.

Бесповторная выборка: µ_ω = √ [ω _* (1 - ω)/n_в ] _* (1-n_в/N_г) = √ [ 0,9 _* (1-0,9) / 100 ] _* [1 - 100/2000] = 0,029

и µ_x = √s²/n_в*(1 - n_в/N_г) = √15,4² / 100_* [1- 100/2000] = 1,5г;

2.Повторная выборка. Генеральная доля:

Р_г = ω ± tµ_ω = 0,9 ± 1 _* 0,03; 0,87 (87%) > Р_г < 0,93 (93%).

Генеральная средняя:

Х _{ср г} = х_{ср в} ± tµ_х; = 500,5 + 1 _* 1,54; 486 > Х _{ср г} < 502,4 г.

При бесповторной выборке – соответственно.

Заключение: При переносе закономерностей выборки на генеральные совокупности можно сделать следующие выводы: с вероятностью р = 0.683 можно утверждать, что в генеральной совокупности доля стандартных изделий колеблется от 0.87 до 0.93, т.е. 87-93% изделий обладают стандартными свойствами, при этом средний вес изделий в генеральной совокупности колеблется от 499 до 502 гр.

ЗАДАЧА 5.6. Расчет оптимального размера выборки

Определить: Оптимальный размер выборки n_{в опт} из N_u=2000 шт. изделий (условие задачи 2), чтобы с вероятностью Р = 0,997 (t = 3) предельная ошибка выборки (Δ _х =± tµ_х;) не превышала 3% веса изделия - х = 500 г, при s = 15,4 г.

Решение. Предельная ошибка по весу: Δ _х = х _* 3% / 100% = 500 _* 3 / 100 = + 15 г.

Оптимальный размер выборки с учетом средней ошибки выборки:

Δ _х = ± t µ_х; = ± t √s²/n_в ; Δ² _х =t² _* s²/n_в , откуда n_в = t² _* s²/ Δ² _х = 3² _* 15,4² / 15² = 11,9 шт., принимаем - n_в = 12 шт.

ЗАДАЧА 5.7. Расчет ожидаемого товарооборота по прогнозируемой численности покупателей выборочным методом

Дано: Торговое предприятие (крупный магазин, супермаркет и др) реализует продукцию в планируемом периоде при общей ожидаемой численности покупателей – генеральной совакупности N_г = 10000 человек.

Выборка безповторная; s = 25.

Необходимо: Определить какое количество покупателей при посещении магазина с вероятностью Р = 0,954 (t=2) купит разных товаров на сумму не менее 2 тыc. руб., т.е. с предельной ошибкой выборки Δ _х = 2 тыc. руб. Решение:

При безповторной выборке ожидаемая численность (Ч_ож = n_в ) составит: Δ _х = ± t µ_х; = ± t * √(s²/n_в) * (1 - n_в / N_г ), откуда

n_в = (t² * s² * N_г )/ (t² * s² + Δ² _х * N_г ) =

= (2² * 25² * 10000) / (2² * 25² + 2² * 10000) =

= (4 * 625 * 10000) / (4 * 625 +4 *10000) = 25000000 / 42500 = 588, 24, принимаем 589 чел. или Ч_ож = 589 чел.

Ожидаемый объем продаж (валовая выручка – ВВ): ВВ = Δ _х * n_в =

2 * 589 = 1178 тыс. руб.

Ответ:

1) Ожидаемая численность по заданным условиям

Ч_ож = 589 чел.

2) Ожидаемый объем продаж: ВВ =1178 тыс. руб.