Добавил:

Teana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

Экономика

Файл:

Курс теории активных систем - Новиков Д.А., Петраков С.Н

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2014

Размер:

690.47 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Механизмы функционирования активных систем с сообщением информации

Вмногоэлементных АС план, назначаемый i -му АЭ, обозначим

xi X i , где X i - множество допустимых планов, сообщение i -го АЭ

будем обозначать si Si , i I . План xi зависит в общем случае от

сообщений всех АЭ, следовательно, возникает игра элементов.

Будем считать, что центр определяет планы (на основании предоставляемой элементами информации) по процедуре планирования

π : S → X , где S = ∏Si ,	X = ∏ X i	и план,	назначаемый i -му АЭ,
i I	i I	= π i (s) ,	i I , s S . В качестве
будет определяться выражением: xi

моделей поведения АЭ будем использовать введенные в разделе 1.3 концепции равновесия Нэша1 и равновесия в доминантных стратегиях.

Будем считать, что интересы центра задаются его целевой функцией Ψ(x, r) . Тогда задачей центра является выбор такой

процедуры планирования, чтобы в точке равновесия значение его целевой функции было максимально. Обозначим множество равновесий Нэша Eπ (r) , r Ω . Будем считать, что конкретный выбор элементов

из этого множества удовлетворяет гипотезе благожелательности, в

соответствии с которой в том числе при прочих равных АЭ предпочтут сообщать достоверную информацию. Для фиксированного равновесия

s (r) Eπ (r) , вычисляя по r Ω гарантированный результат, можно ввести эффективность K(Σ) механизма планирования Σ = (S,π ) :

K(Σ) = min Ψ(π (s (r)), r) .

rΩ

1 Вопрос о том, каким образом АЭ «оказываются» в точке Нэша требует отдельного обсуждения. Если истинные типы всех АЭ известны каждому из них, то они могут «вычислить» равновесие Нэша. Если истинные типы неизвестны, то в динамике (при многократном выборе действий) требуется введение гипотез о динамике коллективного поведения. Одной из наиболее распространенных является гипотеза индикаторного поведения, в соответствии с которой в каждом периоде каждый АЭ делает «шаг» в направлении своей стратегии, которая была бы оптимальной при условии, что все остальные АЭ выберут те же стратегии, что и в предыдущем периоде. Вопросы существования равновесия, условия сходимости к нему и др. исследовались в [20]. Поведение реальных субъектов изучалось при проведении деловых и имитационных игр [4].

ГЛАВА 5

Механизм π : S ® X , в котором АЭ сообщают оценки из множеств {Si }, называется непрямым механизмом (содержательно, в

нем сообщение может нести косвенную информацию о типе АЭ). При

фиксированном соответствии отбора равновесий для непрямого

механизма		π (×)	можно построить соответствующий ему прямой
1	:	~		*	~
механизм		h(r ) = π (s			(r )) , в котором АЭ сообщают непосредственно

оценки своих типов (поэтому этот механизм и называется прямым).

Если в соответствующем прямом механизме сообщение достоверной информации является доминантной стратегией, то он называется

эквивалентным прямым механизмом.

Пример	5.1. В качестве примера АС с сообщением информации
рассмотрим	механизм стимулирования в многоэлементной АС с
сообщением	информации. В таких моделях интересы АЭ и центра

выражаются их целевыми функциями		fi (xi , yi , ri ) , i Î I ,	и F(x, y, r) ,
где ri ÎWi	- тип АЭ, параметризующий класс допустимых целевых
функций i	-го элемента, x = (x1,..., xn )	- вектор планов,	назначаемых

элементам, а y = ( y1, ..., yn ) - вектор действий, выбираемых элементами.

Будем считать, что имеет место асимметричная информированность, то есть центр, в отличие от АЭ, не знает истинных значений параметров {ri }. Как отмечалось выше, одним из способов

устранения имеющейся неопределенности является использование механизма с сообщением информации, в котором каждый АЭ сообщает центру оценку si Î Wi , i Î I , своего типа (здесь множество возможных

сообщений Si для каждого АЭ совпадает с множеством Wi возможных типов АЭ, поскольку эти множества известны центру, и АЭ сообщает информацию непосредственно о своем типе ri Î Wi ).

Порядок функционирования системы при этом следующий:

1. Этап сбора информации. Элементы сообщают центру оценки (s1, ..., sn ) своих типов - параметров (r1, ..., rn ) ;

1	В механизмах с сообщением информации	~
	В механизмах с сообщением информации	обозначение « r » для

вектора сообщений АЭ в прямом механизме вводится для того, чтобы подчеркнуть, что в общем случае сообщения о типах r могут

$ Î ~ ¹

отличаться от истинных, то есть может иметь место: i I : ri ri .

Механизмы функционирования активных систем с сообщением информации

2. Этап планирования. На основе полученных оценок центр,

используя	процедуру	(механизм)	планирования	π :Ω → X , где
Ω = ∏Ωi ,	X = ∏ X i -	множество	допустимых	планов, назначает
i I	i I

планы xi = πi (s) элементам, i I .

3. Этап выбора состояния. Получив плановые задания, элементы выбирают свои действия yi Ai .

В предположении рационального поведения элементов при фиксированных планах выбираемые ими действия yi будут

максимизировать соответствующие целевые функции, то есть:

yi Pi (xi , ri ) = Argmax fi (xi , yi , ri ) .

yi Ai

Таким образом, можно говорить о функции полезности АЭ (в игре

с сообщением информации функции полезности АЭ иногда называют

функциями предпочтения):

ϕi (xi , ri ) = max fi (xi , yi , ri ) .

yi Ai

Целевая	функция	центра	может		быть	определена				как
Ψ(x, r) = Φ(x, y (x, r)) ,		где y (x, r) = (y (x , r ), ..., y (x					n	, r )) .		Тогда
			1	1	1	n	n		n
можно определить эффективность			Σ	механизма		с		сообщением
информации:	K(Σ) = min Ψ(π (s (r)), r) . ∙
	K(Σ) = min Ψ(π (s (r)), r) . ∙
		rΩ
Очевидно,	в механизмах с сообщением				информации				АЭ	будут

руководствоваться своей собственной полезностью и необязательно будут сообщать достоверную информацию. Явление сообщения АЭ

недостоверной информации называется манипулированием информацией, а механизмы, в которых выгодно (является равновесием) сообщение достоверной информации называются неманипулируемыми. Для прямых механизмов неманипулируемым называется механизм, в

котором при любых типах АЭ сообщение достоверной информации является равновесием в доминантных стратегиях1.

В теории активных систем при исследовании механизмов функционирования АС с сообщением информации акцент делается на

1 Легко показать, что, если сообщение достоверной информации является равновесием Нэша r Ω , то эта точка Нэша является и равновесием в доминантных стратегиях.

ГЛАВА 5

двух аспектах – изучении эффективности и манипулируемости тех или иных механизмов. Поэтому в следующих разделах мы рассмотрим

условия неманипулируемости механизмов планирования и для ряда случаев ответим на вопрос о том, когда оптимальный механизм является неманипулируемым.

5.2. Механизмы открытого управления

Зададим для каждого активного элемента множества X i(s−i ) Í Xi

и рассмотрим следующую процедуру планирования:		(5.1)
ìY(x, s) ® max
ï	x X
í	max ϕi (z, si ).	(5.2)
ïϕi (xi , si ) =
î	z Xi (s−i )

Условие (5.2) обеспечивает назначение элементу плана, максимизирующего его функцию предпочтения (в которую в качестве «истинного» значения типа АЭ подставляется сообщенная им оценка) и

называется условием совершенного согласования (УСС). Условие (5.1) в

неявном виде задает процедуру планирования, максимизирующую целевую функцию центра. Механизм, удовлетворяющий (5.1)-(5.2),

называется механизмом открытого управления (ОУ).

Теорема 5.1 (Принцип открытого управления). Необходимым и

достаточным условием сообщения достоверной информации как доминантной стратегии при любых r Ω является существование множеств X i(s−i ) , для которых выполнено условие совершенного

согласования.

Доказательство. Докажем, что сообщение достоверной информации в механизме π (s) , s Ω , удовлетворяющем условиям

совершенного согласования (5.2), является равновесием в доминантных стратегиях. Пусть выполнены условия совершенного согласования.

Сообщение достоверной информации является равновесием в доминантных стратегиях для всех r Ω , если:

"r Î W, "i Î I, "si ÎWi , "s−i ÎW−i , ϕi (π i (ri , s−i ), ri ) ³ ϕi (π i (si , s−i ), ri ) .

Возьмем произвольные:	АЭ i I	и вектор s−i Î W−i	и рассмотрим
вектор типов АЭ, равный	(ri , s−i ) .	При сообщении	достоверной

информации из УСС имеем:

ϕi (π i (ri , s−i ), ri ) = max ϕi (z, ri ) .

z Xi (s−i )

Механизмы функционирования активных систем с сообщением информации

Поэтому	"z Î X i (s−i ) ϕi (π i (r), ri ) ³ ϕi (z, ri ) ,	и	так	как
"si Î Wi	π i (si , s−i ) Î X i (s−i ) , то
	" si Î Wi ϕi (π i (ri , s−i ), ri ) ³ ϕi (π i (si , s−i ), ri ) ,

то есть сообщение достоверной информации - равновесие в доминантных стратегиях при любом r Ω .

Обратно, пусть для некоторого механизма π (s) , для любого r Ω , сообщение достоверной информации - равновесие в доминантных

стратегиях. Докажем, что π (s)					удовлетворяет УСС.
Определим	X i (s−i ) =			Uπ i (si , s−i ) .		Предположим,		что УСС	не
выполнено, тогда				siΩi
		¢			¢ ¢		¢
$r						max
			Î W : ϕi (π i (r ), si ) <				ϕi (z, ri ) ,
					z Xi (r−′i )
то есть $si ÎWi			¢	¢		¢	¢	же время,	мы
	: ϕi (π i (r ), ri )				< ϕi (π i (si , r−i ), ri ) . В то
предположили, что для вектора параметров r′							сообщение достоверной

информации является равновесием в доминантных стратегиях, то есть

"i Î I, "si Î Wi ϕi (π i (r¢), ri¢) ³ ϕi (π i (si , r−¢i ), ri¢) .

Получили противоречие. · Таким образом, принцип открытого управления является

критерием неманипулируемости механизма планирования в АС с сообщением информации. Как отмечалось выше, помимо манипулируемости, основным свойством любого механизма является его эффективность. Возникает вопрос, в каких случаях существует оптимальный неманипулируемый механизм (другими словами – в каких

АС при поиске оптимального механизма можно ограничиться классом неманипулируемых механизмов). Частичный ответ на этот вопрос дает теорема 5.2.

Теорема 5.2. В активной системе с одним активным элементом для

любого механизма планирования существует механизм открытого управления не меньшей эффективности.

Доказательство. Пусть π (s) - некоторая процедура планирования, ϕ(x, r) - функция полезности АЭ, тогда в равновесии имеет место:

ϕ(π (s (r)), r) = max ϕ(π (s), r)	(5.3)
sΩ

ГЛАВА 5

Обозначим x = π (s ) ,		X1 = Uπ (s) . Рассмотрим механизм открытого
~		sΩ
~	*	~
управления h(r ) = π (s		(r )) , определяемый (5.1)-(5.2). Этот механизм в

силу теоремы 5.1 обеспечивает сообщение достоверной информации как доминантной стратегии. При сообщении достоверной информации r центр может из множества допустимых планов (удовлетворяющих (5.2)) выбрать план, максимизирующий Y(x, r) . Любое решение (5.3) -

план x - является решением (5.2), поэтому среди решений (5.2) можно отыскать план x такой, что Ψ(x, r) = Ψ(x , r) .

Предполагая, что выполнена гипотеза благожелательности (ГБ),

то есть, если сообщение достоверной информации является равновесием, то АЭ сообщает достоверную информацию (ГБ соответствует выбору равновесия в критерии эффективности), получаем

K(h) ³ K(π ) . ·

Итак, теорема 5.2 утверждает, что механизм ОУ оптимален в одноэлементной АС (другими словами, для любого механизма

планирования в одноэлементной активной системе существует эквивалентный прямой механизм. Естественное желание обобщить этот

результат на случай многоэлементных АС наталкивается на ряд проблем, основная из которых – зависимость равновесного сообщения

si* (r) каждого АЭ i I от типов других АЭ (см. более подробно раздел

5.6 и [6]). Поэтому в общем случае в многоэлементных АС механизмы открытого управления (неманипулируемые) не оптимальны. В то же время, для широкого класса практически важных частных случаев

механизмов планирования в многоэлементных АС доказаны результаты об оптимальности механизмов ОУ. Некоторые из этих механизмов рассматриваются ниже в разделах 5.3 – 5.5, более подробное и полное изложение можно найти в работах [4,6,12,19]. К теоретическому анализу общих вопросов манипулируемости мы вернемся в разделе 5.6 при обсуждении задач теории реализуемости.

5.3. Механизмы распределения ресурса

Рассмотрим систему, состоящую из центра и n активных элементов. Центр владеет R0 единицами ресурса. Ценность ресурса для i -го элемента определяется его функцией полезности ϕi (xi , ri ) , где xi -

Механизмы функционирования активных систем с сообщением информации

получаемое им количество ресурса, а ri - тип АЭ, параметризующий

класс допустимых функций полезности. Функция полезности может определять, например, прибыль АЭ от использования ресурса в количестве xi .

Предположим, что о функции полезности АЭ центр не имеет информации, за исключением той, что она принадлежит некоторому классу однопиковых функций с точкой пика ri Ωi и однозначно

определяется значением этого параметра, то есть получение ресурса в количестве xi = ri доставляет максимум функции полезности i-го АЭ.

Задачей центра является распределение ресурса с целью, например, максимизации суммарной полезности всех элементов (см. раздел 5.5)

åϕi (xi , ri ) → max при ресурсном (балансовом, бюджетном)
iÎI	x³0

ограничении: åxi ≤ R0 .

iÎI

Распределение ресурса осуществляется следующим образом. Каждый активный элемент сообщает центру оценку si Ωi , i I ,

своего типа (параметра своей функции полезности) ϕi (xi , ri ) и получает

ресурс в количестве xi = πi (s) , где π (s) = (π1(s), π 2 (s), ..., π n (s))

называется процедурой (механизмом) распределения ресурса.

Будем полагать, что множество возможных значений типов i-го АЭ

Ωi - является	отрезком	действительной	оси: Ωi = [0, D] R1 , i I ,
0 < D < +∞ . В	качестве	ограничения D	можно выбрать, например,

имеющееся в распоряжении центра количество ресурса R0 .

На процедуру распределения ресурса наложим следующие ограничения:

1. Функция πi (s) непрерывна по всем переменным и строго монотонна по si для всех s [0, D]n , i I .

2. Будем считать, что åri > R0 (гипотеза дефицитности) и весь

iÎI

ресурс распределяется полностью, то есть: å xi = R0 .

iÎI

ГЛАВА 5

3. Каждая группа активных элементов может получить любое количество ресурса, меньшее того, что она уже получила:

s Ω, W I xi ≤ π i (s), i W sW ΩW : xW = πW (sW , sI \W ) ,

где ΩW = ∏Ω j 1.

j W

4. Если количество ресурса, распределяемого между АЭ из некоторого подмножества W I , увеличивается, то каждый АЭ

получает количество ресурса, не меньшее прежнего.

Примером механизма распределения ресурса, удовлетворяющего введенным предположениям, является механизм пропорционального распределения [4,7,12]:

xi = π i (s) = åsis j R0 .

j I

В качестве модели поведения примем равновесие Нэша (или РДС, если оно существует). Вектор сообщений s (r) называется равновесием Нэша при данном r Ω , если i I, si Ωi выполняется следующее

соотношение (см. также выше):

ϕi (πi (s ), ri ) > ϕi (πi (si , s−i ), ri ) .

Лемма 5.1. Пусть s (r) - равновесие Нэша при данном r , тогда оно удовлетворяет следующим условиям:

1)если xi < ri , то s i = D ;

2)если s i [0, D) , то xi = ri .

Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть в положении

равновесия x < r

и s < D . Тогда по ограничению 1, сообщая s = D ,

(s , s

(s ) . Если

i -ый

АЭ

получит

) > π

при

сообщении

s = D ,

−i

, s

) < r ,

то

(π

(s , s

), r ) > ϕ

(π

(s ), r )

не

является

−i

равновесием Нэша. Если

(s , s

) > r , то для

по ограничению 3

−i

, s

и s

найдется сообщение t

такое, что π

) = r

не является

−i

равновесием Нэша.

1 Некоторое условие, записанное для индекса W I , считается выполненным для всех АЭ i W .

Механизмы функционирования активных систем с сообщением информации

Докажем второе утверждение. Пусть s* Î[0,				D) , но x ¹ r ,		тогда
			i	i	i
либо r	> x , либо	r < x . Первый случай		( s Î[0, D) ,	r	> x )
i	i	i	i	i	i	i

рассмотрен в первом пункте доказательства. Если реализуется второй

случай и s Î[0, D) ,

r < x

то по ограничению 2 существует

Î S

такое, что r = π

, s

) , и s не является равновесием Нэша. ·

−i

Распределение ресурса в равновесии определяется следующим

алгоритмом.

Алгоритм 5.1. На нулевом шаге полагаем s0 = D для всех i I

вычисляем распределение ресурса

= π

(D,..., D) . Множество1

Q на

нулевом шаге полагаем пустым Q0 = Æ .

На шаге j ³ 1 множество Q j

определяем следующим образом:

Q j = {i Î I |(x j−1 )

³ r } .

Для АЭ из множества

Q j

по условию 2 определяем s

ÎW

такие, что

j , s j−1 j ) = r j .

I \Q

В конце j -го шага получим

s j = (s

j , s j−1 j ) и x j

= π (s j ) .

I \Q

Если на некотором шаге k

окажется, что Qk = Qk −1 , то алгоритм

останавливается, и полагаем:

s = sk ,

x* = xk , Q = Qk . ·

Результаты применения данного алгоритма, заканчивающегося не

более чем за n шагов, имеют следующие свойства:

Лемма 5.2. 1) Если i ÏQk , то на любом шаге 1 ≤ j ≤ k , x j ³ x j−1

x ³ x0 .

2) s - равновесие Нэша при данном r .

1 Множество

Q Í I

включает

активные элементы, получающие

абсолютно оптимальные

для

себя

планы ( xi = ri , i ÎQ ). Такие

АЭ

называются «диктаторами» или (в механизмах распределения ресурса) приоритетными потребителями.

ГЛАВА 5

Доказательство. Первое свойство следует из вида алгоритма 5.1 и ограничения 4, так как на каждом шаге j количество ресурса,

распределяемого между элементами из множества I \ Q j , не уменьшается.

Докажем выполнение второго свойства. Имеет место: rQ = πQ (s ) ,

поэтому приоритетным потребителям менять сообщение невыгодно, так как они получает оптимальное для себя количество ресурса.

Если i Q , то по лемме 5.1 s = D	и x < r , то есть, сообщая
i	i i

si < D , i -ый АЭ может лишь уменьшить количество получаемого им ресурса (в силу строгой монотонности процедуры планирования), поэтому изменять сообщение ему невыгодно. ·

Определим соответствующий исходному механизму распределения

ресурса прямой механизм	~	~	~	Таким образом, в
ресурса прямой механизм	h(r ) = π (s	(r )) ,	r ÎW .	Таким образом, в
~		~	Î Wi ,	при этом ri	может
механизме h(r ) i -ый элемент сообщает ri			Î Wi ,	при этом ri	может
~
быть не равным ri .					~
Теорема 5.3. Прямой	механизм	распределения ресурса			~
Теорема 5.3. Прямой	механизм	распределения ресурса			h(r ) ,

определяемый алгоритмом 5.1, является механизмом открытого управления.

Доказательство. Пусть вектор типов АЭ равен r , тогда нужно показать, что

"i Î I, "ri¢Î Wi ,ϕi (h(ri , r−i ), ri ) ³ ϕi (h(ri¢, r−i ), ri ) ,

то есть сообщение достоверной информации является равновесием Нэша.

Пусть i Q , тогда hi (r) = ri и

"ri¢ÎWi ,ϕi (hi (r), ri ) ³ ϕi (hi (ri¢, r−i ), ri ) .

Если i Q , то hi (r) < ri . Если i -ый АЭ сообщит ri¢ > xi , то по алгоритму 5.1 он получит ресурс в количестве

hi (ri¢, r−i ) = hi (r) и hi (ri¢, r−i ) = xi ,

так как на каждом шаге j количество ресурса, выделяемого i -му АЭ,

не уменьшается:		ri¢ > xi ³ x j (см. лемму 5.2). Если он сообщит ri¢ £ xi , то
не позже,	чем	на k −1 шаге, он попадет в победители и получит
¢	¢

hi (ri , r−i ) = ri < xi . Таким образом, сообщение достоверной информации является равновесием Нэша. ·

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Экономика

#
24.05.2014185.97 Кб28Кредитная система Исламской республики Иран - Полищук А. И..pdf
#
24.05.2014186.08 Кб14Кризисное состояние расчетно-платежной системы России оптимизация экономических решений - Чухланцев Д. О..pdf
#
24.05.2014363.01 Кб34Курс лекций "Фьючерсы и опционы".doc
#
24.05.2014496.93 Кб40Курс лекций по дисциплине Финансы и кредит - М.И. Смородиной.pdf
#
24.05.20143.41 Mб91Курс предпринимательства - Абчук В.А..pdf
#
24.05.2014690.47 Кб54Курс теории активных систем - Новиков Д.А., Петраков С.Н..pdf
#
24.05.20142.27 Mб67Лекции по истории экономической мысли - Делепляс Г..pdf
#
24.05.2014433.66 Кб91Лекции по логистике!!!.doc
#
24.05.2014661.86 Кб29Лекции по мировой экономике - Якобсон А.Я., Максимов И.М..pdf
#
24.05.2014265.04 Кб43Лекции по эконометрике - Перцев Н.В.pdf
#
24.05.2014720.04 Кб79Лекционные материалы по экономике.pdf