Курс теории активных систем - Новиков Д.А., Петраков С.Н

А.8. A = A = [0, A+ ] ,

A+ < +¥ .

0

"z < A+

А.9. F(0) = 0 ,

F(z) < 1 .

Теорема 3.5.

В классе M

оптимальна следующая функция

штрафов K - типа:

ìC, z £ z2 ;

~

ï~

~

, z3

];

χ K (z) =

íh (z) - h (z3 ), z Î[z2

ï0, z ³ z

3

,

î

~

~

~

где z2 = arg max h (z) ,

z3 = max{z ³ z2 | h (z) ³ h (z2 ) - C} .

z A0

Доказательство. Целевая функция АЭ равна математическому

ожиданию функции полезности:

A+

~

~

y

~

f ( y) = ò

f (z) p(z, y)dz =

f ( y)[1 - F( y)]+

ò

f (z) p(z)dz ,

0

0

где p(z)

- соответствующая интегральной функции F(z) плотность

распределения. Производная целевой функции имеет вид:

~

¶f ( y) = ¶f ( y) [1 - F( y)].

¶y

¶y

Из приведенного выражения следует, что для простого АЭ отрезки

монотонности функции полезности и целевой функции совпадают.

При использовании функции штрафов

~

~

возрастает на

χK (z) , f (z)

интервале

[0, z2 ) , постоянна

на

интервале

[z2 , z3 ] ,

убывает

на

интервале

[z3, + ¥) .

Аналогично

ведет

себя

f ( y) ,

значит z3 -

реализуемое действие.

Покажем, что для любой допустимой функции штрафов

глобальный

максимум функции

f ( y)

достигается

при

y £ z3 .

Предположим

противное,

то

есть,

что

существует

глобальный

максимум

функции

f ( y)

в

точке

~

> z3

,

~

+

,

то

есть

y

y < A

"y Î A

~

При

этом из детерминированной

теории

(см.

f ( y) ³ f ( y) .

теорему 2.1)

следует,

что

глобальный

максимум функции

~

не

f (z)

может достигаться при

z > z3 . То есть,

найдется точка y′

~

A

+

≤ z3 < y <

такая, что

~

~ ~

~

~

f (z′ = y′) > f (z

= y) и при этом

f ( y¢) £ f (y) .

Из связи функций

f

~

следует неравенство:

и f

~ ~

~

~

~

y′ ~

y ~

¢

¢

f ( y)[1 - F( y)]+ ò f (z) p(z)dz - f ( y )[1 - F( y )]- ò f (z) p(z)dz ³ 0 ,

0

~

0

~ ~

~

~

~

¢

¢

y

откуда: f ( y)[1 - F( y)]+ f ( y )[1

- F( y )]+ ò f (z) p(z)dz ³ 0 .

y′

Из того, что

y¢ <

~

~

~

~

~

получим следующую

y и f (z′ = y′) >

f (z

= y) ,

оценку:

~

~ ~

~

~

¢

¢

y ~

f ( y)[1 - F( y)]- f ( y )[1 - F( y )]+ ò f (z) p(z)dz £

~ ~

y′

≤

~

~

~

~

f ( y)[1−

F( y)]−

f ( y′)[1− F( y′)]+

f ( y′)[F( y) − F( y′)]=

~ ~

~

~

~

~

~

~

~

~

= f ( y)[1− F( y)]− f ( y′) + f ( y′)F( y)

= [f ( y) −

f ( y′)][1− F( y)]< 0 ,

подмножеством

~

множества X называется

множество пар

A

~

(x), x},

где

x X , μ A (x) [0,1] . Функция

μ A : X → [0, 1]

A = {μA

~

~

~

~

X ,

Носителем множества A называется подмножество множества

содержащее те элементы из X , для которых значения функции

~

μA (x) > 0} .

принадлежности больше нуля: supp A = {x X

~

~

которое

может

задаваться

функцией

A = {x R1 x >> 1} ,

1

μ B ( x )

μ A ( x )

~

x

1

10

Рис. 4.1. Пример четкого

и нечеткого множества

2. Два

нечетких множества

~

~

равны (записывается A

= B ), если

x X , μA

(x) = μB

(x) .

~

~

функции принадлежности. ·

~

~

3. Нечеткое множество

содержится в нечетком множестве

B

A

~

~

~

x X

или является подмножеством A

(т.е. B

Í A ), если

Пример

4.3.

Функции

принадлежности четких подмножеств

A = [1, 5] и

B = [3, 4] множества действительных чисел (см. рисунок

4.2) имеют вид: μ A

ì1, x Î[1, 5];

ì1, x Î[3, 4];

(x) = í

Ï[1, 5],

и μB (x) = í

î0, x

î0, x Ï[3, 4].

1

μ A (x)

1

3

4

5

множеств, получаем

B A . Таким

образом,

для

четких

множеств

определение принадлежности приобретает стандартный вид. ∙

~

~

~

~

называется

4. Пересечением нечетких множеств A и

B ( A I B )

наибольшее нечеткое множество, содержащееся как в

~

~

A ,

так и в B , с

функцией принадлежности

μAIB

(x) = min {μA (x), μB (x)}, x X .

~ ~

~

~

Пример 4.4. Рассмотрим четкие множества

A = [1, 4]

и

B = [3, 5] .

1

μ A (x)

μAIB (x)

μB (x)

x

3

5

1

4

Рис. 4.3. Пересечение множеств

1

μ A (x)

μB (x)

μ AUB (x)

x

3

5

1

4

Рис. 4.4. Объединение множеств

5. Дополнением нечеткого множества

~

X называется нечеткое

A в

1

μ¬A (x)

~

1

4

подмножество

X

2

. Таким

~

образом, под нечетким отношением R

будем

понимать

функцию

принадлежности

μR (x, y) такую,

что

~

μR : X ´ X ® [0, 1] . Значение функции принадлежности понимается как

~

~

степень выполнения отношения xRy .

Пример 4.7. Рассмотрим четкое отношение R - «больше,

либо

равно»,

тогда

R = {(x, y)

x ³ y} . Функция

принадлежности

этого

0

x

~

x X

μR (x, x) =

1

, то

отношение R рефлексивно в смысле Р1; если

~

~

2

нечеткое отношение R рефлексивно в смысле Р2.

μR

(x, x) = 0

то

2. Антирефлексивность (для Р1): если

x X

~

3.

Симметричность:

если

x, y X

~

выполняется

μR (x, y) = μR ( y, x) ,

то

нечеткое

отношение

называется

R

~

~

симметричным.

x, y X

из

μR

(x, y) > 0

следует

4. Асимметричность: если

~

~

μR ( y, x) = 0 , то нечеткое отношение R называется асимметричным.

~

5. Линейность (полнота): нечеткое отношение

~

называется λ -

R

линейным в

смысле

определения Л1,

если

x, y X

выполняется

max {μR

(x, y), μR (y, x)}> λ ,

где

λ Î[0, 1) ; при

λ =

0,

~

называется

R

~

~

слабо

линейным.

Если

x, y X

выполняется

max {μR

(x, y), μR (y, x)}= 1,

то

отношение

~

называется

сильно

R

~

~

линейным.

~

Нечеткое

отношение

называется

линейным

в

смысле

R

определения Л2, если x, y X

выполняется μR (x, y) = 1- μR (y, x) .

~

~

~

~

определяется

как отношение,

6. Отрицание R¢ отношения R

функция

принадлежности

которого

x, y X

определяется

μR¢ (x, y) = 1- μR (x, y) .

~

~

~

~-1

7. Обратное

к

определяется

отношению R

отношение R

x, y X

выражением μ ~

−1

(x, y)

= μ ~ (y, x) .

R

R

8. Композицией отношений (произведением) называется

отношение:

К1 - максиминная композиция:

(x, z), μR (z, y)} ;

μR ×R (x, y) = sup min{μR

~

~

~

~

1

2

zÎX

1

2

К2 - минимаксная композиция:

(x, z), μR (z, y)} ;

μR ×R (x, y) = inf

max {μR

~

~

zÎX

~

~

1

2

1

2

К3 - максмультипликативная композиция:

μR ×R (x, y) = sup {μR (x, z)μR (z, y)}.

~

~

~

~

1

2

zÎX

1

2

~

~

~

(Т2) и (Т3) по следующей схеме: R

× R

Í R . Определение максиминной

выбора P(RA , A0 ) = {z A0

t A0

zRA t} в терминах функций

0

0

Множество

альтернатив

x A0 , доминируемых хотя

бы одной

альтернативой

y A0 , имеет

функцию принадлежности

μP ( y, x) .

доминируемых

данной альтернативой y A0 , имеет функцию

принадлежности

1− μP ( y, x) . Вычисляя пересечение по всем y A0 ,

бинарному отношению RA :

0

P(RA0 , A0 ) = inf

{1− μP

( y, x)} = 1 − sup μP ( y, x) .

y A0

y A0

Пример 4.8. Рассмотрим следующее четкое рефлексивное, полное,

множеством

из трех действий

y1,

y2 , y3 , такое, что

y1 не

менее

предпочтительно, чем y2 , а y

2

не менее предпочтительно чем

y3 , y1

не менее

предпочтительно,

чем

y3 . Это четкое

отношение

y1

y2

y3

y1

1

1

1

y2

0

1

1

y3

0

0

1

y1

y2

y3

y1

0

1

1

y2

0

0

1

y3

0

0

0

НД

(x) для

этого

отношения предпочтения будет

Функция μ ~

R

задаваться таблицей 4.3.

y1

y2

y3

μ ~

1

0

0

НД

R