Вопрос 2. Критерий выбора оптимальной стратегии в условиях полной неопределенности (игры с природой)

В экономических задачах часто выбор решения зависит от объективной действительности или окружающей экономической среды, которая в математических моделях называется «природой». Математические модели таких ситуаций называются «игры с природой».

Пусть игрок А имеет m возможных стратегий, а природа П находится в одном из n состояний П₁, …, П_n. Тогда также можно сформировать матрицу игры.

Ai\Пj	П1	…	Пn
A1	a11	…	а1n
…	…	…	…
Am	a1m	…	amn

Показателем благоприятности состояния П_j природы называется

. (1)

Для характеристики удачливости игрока А вводится понятие риска:

. (2)

Таким образом, риск – это упущенная возможность получения максимального выигрыша .

Из (1) и (2) следует, что .

Для любой матрицы А можно составить матрицу рисков R_A.

Ai\Пj	П1	…	Пn
A1	r11	…	r1n
…	…	…	…
Am	r1m	…	rmn

Принятие решений в условиях полной неопределенности

Рассмотрим некоторые критерии принятия оптимальных решений, когда вероятности, с которыми природа может принять то или иное состояние, неизвестны.

Рассмотрим игру с m чистыми стратегиями и n состояниями природы П.

Критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма)

По критерию Вальда показателем эффективности стратегии A_i будет величина , т.е. минимальный выигрыш при применении игроком А стратегии A_i.

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Вальда будет стратегия с максимальным показателем эффективности

.

Максимаксный критерий (критерий крайнего оптимизма)

Показатель эффективности стратегии A_i по этому критерию – это максимальный выигрыш по этой стратегии

.

Оптимальной среди всех чистых стратегий является стратегия с максимальным выигрышем, т.е. стратегия, максимальный выигрыш при которой максимизируется

.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрыша

Показателем эффективности стратегии A_i по Гурвицу является величина

.

Оптимальной стратегией A_i0 считается стратегия с максимальным показателем эффективности

.

При λ = 0 получаем критерий Вальда, а если λ = 1 получаем максимаксный критерий.

Критерий Сэвиджа (критерий крайнего пессимизма)

Показателем неэффективности по Сэвиджу является максимальный риск

.

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Сэвиджа является стратегия A_i0 с минимальным показателем неэффективности.

.

Миниминный критерий (критерий крайнего оптимизма)

Показатель неэффективности стратегии A_i по этому критерию – минимальный риск.

.

Тогда оптимальная среди чистых стратегий по миниминному критерию является стратегия A_i, при которой минимальный риск минимален

.