Вопрос 27: основные понятия теории линейного программирования. Теоретические основы симплекс-метода.

Задача ЛП – однокритериальная задача условной (с ограничениями) оптимизации с линейным функционалом и линеными ограничениями.

Примерами задач ЛП могут служить задачи о фанерном цехе, о составлении рациона, классическая транспортная задача, динамическая задача планирования производства.

Графический метод решения задач.

Тут нужен любой пример. В лекциях была такая задача:

«Полезные выводы», которые надо делать на основе графического решения:

1. решение задачи ЛП находится на границе допустимого множества;

2. множеством решений может быть: ø, точка, отрезок, луч, прямая.

3. Если решение достигается, то это присходит в одной крайних точек.

В силу конечности крайних точек, задача сводится к их перебору.

4. Хотелось бы от общего перебора перейти к направленному, например, с постоянным улучшением функционала.

Можно предложить геометрические наброски для организации подобного: рассматривать углы между и ребрами. Если нет острого, то крайняя точка – решение.

Во всех случаях задача ЛП сводится к стандартной по форме записи:

.

Все взаимосвязи носят линейный характер.

m – количество ограничений, n – количество переменных, n > m.

, x_b – базисные, x_s – свободные.

– базисные столбцы.

– свободные столбцы.

Если x_s = 0, – базисное решение.

Базисное решение может оказаться недопустимым.

Теорема. Если множество допустимых значений задачи ЛП не пусто, то в нем  хотя бы одно базисное решение.

Теорема. Множество допустимых базисных решений задачи ЛП совпадает множество крайних точек допустимого множества решений этой задачи.

Теорема. Если задача ЛП имеет решение, то оно достигается хот бы в одной из крайних точек.

Симплекс метод.

Предполагается, что есть допустимое базисное решение – x_b x_s (базисные и свободные компоненты этого решения).

Из предыдущего можно отметить, что . Функционал тоже можно разделить на c_b и c_s.

– симплекс разности.

Важные выводы:

1. если все симплес разности  0, то значение целевой финкции улучшить нельзя, то есть перед нами решение задачи;

2. не базисный столбец a_j имеет смысл вводить в базис, если симплекс разность > 0;

3. можно выбирать наибольшую из положительных симплекс разностей d_j.

Пусть a_r – столбец, который было решено ввести в базис.

 так красиво вышло последнее равенство из-за того, что остальные из свободных переменных останутся свободными.

.

 l

l – это одна из базисных переменных, индекс той переменной, которая реально выводится из базиса.

Значение x_l = 0 для этого нового базиса.

Отдельно возможно рассматривать вырожденные задачи ЛП (именно там может произойти зацикливание), но это вне основного вопроса.

Сам симплекс метод сводится к следующему:

1. Имеем базисное решение. Для него формируем A_b, A_s, C_b, C_s, X_b, X_s.

2. Вычисляем сиплекс разности. Если все они  0, получено решение, конец процедуры. Если нет, вводим в базис столбец a_r.

3. Если , то функционал можно увести в +, а если нет – .

4. Вычисление нового базисного решения

5. Переход к 1.

В общем случае нахождение начального базисного решения становится отдельной задачей, но это уже вне основного вопроса.