18. Траектория равновесного роста. Траектория Дж. Фон Неймана.

(из книги Петровой Л.П. – Кубониева, Табата «Математика на ПК»)

Рассмотрим динамическую межотраслевую модель, а именно модель равновесного роста, в которой проблема оптимизации в явном виде не ставится. В этой модели предполагается, что темпы прироста производства всех благ одинаковы и неизменны и составляют величину g.

Запишем межотраслевую модель в виде:

X(t) = AX(t) + F(t), (1)

где t – момент времени, А – продуктивная матрица (матрица коэффициентов прямых затрат – объем ресурса i, необходимый для производства единицы продукта j).

Вектор конечного спроса состоит из двух компонентов – вектора потребления С и вектора инвестиций I, т.е.

F(t) = C(t) + I(t). (2)

Если доход в момент времени t обозначить как Y(t), то функция потребления отдельных видов благ может быть записана как

Ci(t) = h_iY(t), i = 1, 2, …, n. (3)

Доход Y(t) можно представить в виде функции:

Y(t) = v1X1(t) + x2X2(t) + … + vnXn(t), (4)

Где vi – доля добавленной стоимости для блага i.

Введем соответствующие векторы:

	h 1		v 1
h =	h 2	v =	v 2
	…
	h n		v n

Тогда из 3, 4 можно вывести следующее соотношение:

C(t) = hvX(t). (5)

Если далее величину капитала i, необходимую для производства блага j, обозначить как bij , то матрица коэффициентов капитала В запишется в виде:

	b 11	b 12	…	b 1n
B =	b 21	b 22	…	b 2n
	…	…		…
	b n1	b n2	…	b nn

Допустим, что как между выпуском продукции и затратами сырья, так и меду выпуском продукции и величиной необходимого для этого капитала существует пропорциональная зависимость. Если прирост производства продукции обозначить как

∆Xi(t) = Xi(t+1) – Xi(t),

то инвестиционный спрос на благо i за период времени t запишется как

Ii(t) = b_i1∆X1(t) + b_i2∆X2(t) + … + b_in∆Xn(t), (6) где i = 1, 2, …, n.

Если обозначить n-мерный вектор, состоящий из элементов ∆Xi(t), то формулу (6) можно переписать в матричном виде:

I(t) = B∆X(t) = B(X(t+1) – X(t)). (7)

Из уравнений 3, 4, 7 и 9 теперь можно вывести основное уравнение динамической межотраслевой модели:

X(t) = (A+ hv)X(t) + B(X(t+1) –X(t)). (8)

Если обозначить A˜ = А + hv, то уравнение (8) можно переписать в виде:

X(t) = A˜X(t) + B(X(t+1) – X(t)). (9)

Как уже было сказано, в модели предполагается равновесный рост производства. Если темп прироста обозначить как g, то можно составить следующее уравнение:

X(t+1) – X(t) = gX(t).

Если теперь вектор выпуска продукции за некоторый год принять за X, то динамическое уравнение можно записать как:

X = (A˜ + gB)X, (10)

Откуда после преобразования получаем:

(1-А˜)^-1BX = 1/g · X. (11).

Сделаем еще одно допущение: пусть при (1-А˜)^-1 > 0, в каждом ряду матрицы B есть хотя бы один положительный элемент. При таком допущении, поскольку (1-А˜)^-1B > 0, согласно теореме Перрона-Фробениуса о положительно-определенных матрицах максимальный по своему абсолютному значению положительный характеристический корень λ^* матрицы (1-А˜)^-1B (корень Фробениуса) (м.б. вычислен наиболее просто с помощью алгоритма возведения в степень и умножения) и правый положительный характеристический вектор X^* (вектор Фробениуса) определяются однозначно. Иначе говоря, других неотрицательных характеристических векторов не существует. Следовательно, обладающая экономическим смыслом траектория равновесного роста (траектория фон Неймана – магистраль) представляет собой вектор [αX^*: α≥0], а темп прироста g^* в этой модели определяется как величина, обратная λ^*.

Недостатки модели Неймана.

а) отсутствие в явном виде непроизводственного потребления продукции;

б) отсутствие ограниченных (невоспроизводимых или ограниченно воспроизводимых ресурсов)

в) неизменность технологий (отсутствие научно-технического прогресса)