Вопрос 13.Модель компенсированного бюджета. Предпосылки построения. Общий вид модели. Функция Лагранжа. Экономическое содержание множителей Лагранжа.

Модель относится к разделу микроэкономики, описывающему поведение потребителя.

Рассмотрим ситуацию, когда в результате неблагоприятного изменения условий рыночной конъюнктуры, повлекших повышение цен на одно или несколько благ, потребителю, с целью сохранения достигнутого за предыдущие интервалы времени уровня потребительской полезности, необходимо определить денежную компенсацию к первоначальному бюджету. Предполагается, что потребитель полностью осведомлен о состоянии своих потребительских предпочтений и выборов, осуществленных на предыдущих временных интервалах.

Предпосылки те же, как и для модели потребительского выбора.

Основные предпосылки модели потребительского выбора.

1. Рассмотрим модель рыночной экономики, где основным инструментом является условие поведения товаров в их денежном эквиваленте, которые используются в процессе обмена.

2.Потребительский рынок является рынком совершенной конкуренции, т.е. индивидуальный потребитель не может диктовать цены закупаемых благ.

3.Каждый потребитель идентифицируется следующими факторами: - величиной бюджета М, это означает, что, мы рассматриваем потребителя в процессе единомоментного акта потребления товаров, т.е. бюджет расходуется полностью. (Пр.: если, на следующий, день этот же потребитель приходит с другим кошельком (другой суммой денег), то он уже идентифицируется как новый потребитель, тем не менее субъективные отношения сохраняются).

4.Рынок потребительских благ является конечным

Допустим, что предпочтения потребителя описываются априорно заданной СФПП (субъективная функция порядковой полезности) , и  вектор рыночных цен на приобретаемые блага и размер бюджета потребителя соответственно. Тогда  новый вектор цен, соответствующий изменившимся рыночным условиям.

Таким образом, необходимо определить минимальный размер дополнительной компенсации , на величину которой требуется увеличить первоначальный бюджет потребителя M с целью сохранения его достигнутой ранее потребительской полезности, соответствующей изокванте

_{Cформулируем математическую постановку задачи определения компенсированного бюджета потребителя:}

(3.48)

(3.49)

(3.50)

(3.51)

(3.52)

Модель (3.48)-(3.52) является задачей на условной экстремум с ограничениями в виде неравенств и функционалом на минимум. Для того, чтобы использовать необходимые условия оптимальности теоремы Куна-Таккера, требуется показать, что функционал (3.48) и система ограничений (3.49)-(3.52) являются выпуклыми на _{(бюджетное ограничение потребителя)} функциями.

Функционал задачи (3.48)-(3.52) (выражение (3.48)) является линейной функцией одной переменной, а, следовательно,  выпуклая функция.

Аналогично, также является выпуклой в экономической области потребителя.

Наконец, поскольку, согласно условию (3.5)³, СФПП на является вогнутой по каждому аргументу, то  выпуклая на функция.

Кроме того, в экономической области потребителя всегда найдется такой набор благ и такое , для которых справедливы следующие условия:

; (3.53)

. (3.54)

Следовательно, установлено, что экономическая область потребителя удовлетворяет условию Слейтера⁴, что позволяет построить функцию Лагранжа модели (3.48)-(3.52):

. (3.55)

Используем условия оптимальности теоремы Куна-Таккера:

; (3.56)

(3.57)

(3.58)

; (3.59)

, (3.60)

где  решение системы уравнений (3.56) - (3.60).

Условия оптимальности (3.56) - (3.60) решения модели компенсированного бюджета потребителя (3.48)-(3.52) позволяют установить экономическое содержание множителей Лагранжа и .

Так, множитель Лагранжа , являющийся двойственной оценкой бюджетного ограничения (3.50), показывает величину, на которую снизится объем компенсации потребителю в случае, если его первоначальный бюджет увеличится на одну денежную ед. Этот результат вполне ожидаем: каждая дополнительная ед. собственных средств потребителя вытесняет некоторый объем дополнительных средств, авансируемых на покупку товара. С социально-экономической т.з. этот множитель Лагранжа – есть социальная норма дисконта, т.е. то количество денег, которое гос-во вкладывает в социальную сферу. Это обусловлено тем, что именно государство компенсирует бюджет потребителя при изменении цен.

Множитель (двойственная оценка ограничения (3.49) в точке ) характеризует рыночную цену набора благ, приходящуюся на ед. его предельной полезности, и, как следует из свойств оптимального решения модели потребительского выбора, является постоянной для всех благ из набора . Более того, увеличение минимальной общей полезности на одну ед. ведет к увеличению объема дополнительно привлекаемых потребителем бюджетных средств на величину двойственной оценки .