1.6. Система основных уравнений тепло- и массообмена

В процессах тепло- и массооб­мена искомыми являются поля скоростей, температур и концен­траций, поэтому в систему основных уравнений входят дифферен­циальные уравнения движения, сплошности, переноса теплоты и массы. Кроме того, в систему могут входить другие уравнения, определяющие состояние среды и их физические характеристики.

Система основных уравнений тепло- и массообмена для пограничного слоя газа и жидкости имеет вид:

,

где ρ– плотность среды, кг/м³; w– относительная скорость, м/с; F– поверхность контакта, м²; P–абсолютное давление, Па; μ– коэффициент динамической вязкости, Па∙с; d– влагосодержание, кг/кг; T– абсолютная температура, K.

В общем случае найти аналитическое решение такой системы достаточно сложно. Возможно применение численных методов решения. Но оба метода требуют одинаковых краевых условий, которые в реальных про­цессах тепло- и массообмена, как правило, представлены не пол­ностью. Физический процесс полностью описывается некоторой системой уравнений и, присоединенных к ним, краевых условий только в том случае, когда эта система замкнута. Считают, что уравнения движения и сплошности допускают автономное реше­ние, так как в совокупности со своими краевыми условиями они составляют замкнутую систему. Система уравнений теплопровод­ности и диффузии незамкнута. Если, например, известны началь­ные временные и начальные пространственные краевые условия (параметры сред на входе в аппарат), то, как правило, неиз­вестны конечные пространственные краевые условия – параметры сред на выходе из аппарата. Чтобы система была замкнутой, необходимы дополнительные дифференциальные уравнения, вклю­чающие эти переменные. Такими уравнениями являются дифференциальные уравнения интенсивности тепло- и массообмена.

1.7. Подобие процессов

Вид чисел подобия определяется соответствующими дифференциальными или алгебраическими уравнениями, которые для одного и того же явления или про­цесса могут быть различными, так как зависят от принятой физической модели, уровня и объема информации и др. В рас­смотренной выше системе (1.31) уравнение движения дает два определяющих числа подобия – Рейнольдса Rе и Фруда Fr. Остальные уравнения определяющих чисел подобия не дают. Это не значит, что их нет вообще. В дальнейшем будут получены числа подобия из других уравнений тепло- и массообмена, состав­ленных на иной физической основе, нежели единичный акт пере­носа субстанции.

В качестве определяемых обычно используются, числа Нуссельта тепловое и диффузионное. Коэффициенты тепло- и мас­сообмена в них носят условный характер, зависят от способа определения площади поверхности контакта и движущих сил про­цесса. Эта условность ограничивает полноту отражения физиче­ской сущности процесса и диапазон действия критериальных уравнений. В этой связи можно сформулировать, некоторые жела­тельные требования к определяемому числу подобия.

1. Определяемое число подобия должно быть получено из ана­литического уравнения, отражающего физическую сущность про­цесса. Оно должно представлять отношение главных эффектов, движущих процесс, т. е. относительную движущую силу.

2. Зависимость определяемого числа подобия от определяю­щих должна аппроксимироваться единым критериальным уравне­нием, пригодным для широкого диапазона давлений, температур и концентраций.

3. Определяемое число подобия не должно быть связано с характерным геометрическим размером, так как он во многих случаях является условным, неопределенным и непостоянным.

4. Определяемое число подобия не должно зависеть от спо­соба вычисления значения движущей силы и площади поверх­ности контакта.

Определяемые и определяющие числа подобия взаимозави­симы. Теория подобия и связанная с ней теория анализа размер­ностей не устанавливают эту зависимость, но дают для ее состав­ления ряд правил, которыми будем пользоваться в дальней­шем:

1. Подобные явления имеют одинаковые числа подобия (пер­вая теорема подобия).

2. Интеграл может быть представлен функцией чисел подобия дифференциального уравнения (вторая теорема подобия).

3. Если условия однозначности подобны и определяющие числа подобия одинаковы, то и явления подобны (третья теорема по­добия).

4. Количество чисел подобия, характеризующих данный про­цесс, равно разности количества размерных переменных и первич­ных размерностей (π-теорема анализа размерностей).

5. Критериальной зависимости соответствует гомогенная функ­ция, имеющая вид степенного одночлена.

6. Комбинация чисел подобия – это тоже число подобия.

7. Обобщеннее зависимости ограничены условиями экспери­мента; из них нельзя делать заключения, выходящие за пределы этих ограничений.

Как видно, теория подобия дает много информации, которая облегчает получение расчетных зависимостей. Однако эта инфор­мация не является исчерпывающей. Поэтому вид критериальных уравнений и составляющих их чисел подобия во многом зависит от субъективного фактора. Это является одной из причин много­образия рассматриваемых ниже эмпирических зависимостей и методов расчета процессов тепло- и массообмена.