§3. Математические модели материальных объектов

В основе теории механических движений в классической механике лежат следующие математические модели реальных материальных объектов:

• материальная точка;

• система материальных точек, или иначе, «механическая система»;

• неизменяемые механические системы и абсолютно твердые тела;

• деформируемые тела, жидкие и газообразные среды.

Замечание

В предлагаемом здесь курсе теоретической механики деформируемые тела, жидкие и газообразные среды не рассматриваются.

Дадим определения каждой из рассматриваемых моделей.

1º. Материальная точка

Определение 1

Материальная точка – это часть материи, достаточно малая для того, чтобы в любой момент времени можно было определить ее положение в абсолютном пространстве как положение объекта, не имеющего геометрических размеров, т.е. объекта, являющегося геометрической точкой.

По-другому материальную точку можно трактовать как геометрическую точку, наделенную совокупностью параметров.

Эти параметры связывают материальный объект, сосредоточенный в момент времени в данной геометрической точке, с причинами (силами), создающими его механическое движение.

Такими параметрами могут служить масса, величина заряда, жесткость пружины, коэффициент вязкого трения и т.п.

2º. Понятие механической системы

Определение 2

Любая совокупность конечного числа материальных точек, взаимосвязанных между собой по каким-либо правилам, называется механической системой или, иначе, системой материальных точек.

При этом учитываются только такие взаимные связи и правила, которые оказывают влияние на движение точек.

3º. Понятие неизменяемой системы (жесткой системы)

Определение 3

Неизменяемой (жесткой) механической системой называется такая механическая система, в которой расстояния между любыми двумя точками ее остаются постоянными на любых движениях этой системы.

4º. Понятие «абсолютно твердого тела» («твердого тела»)

Определение 4

Неизменяемая механическая система, состоящая из континуума материальных точек, называется абсолютно твердым телом (или просто — твердым телом).

Из определения следует, что твердое тело представляет собой жесткую механическую систему, состоящую из несчетного множества материальных точек.

Примечание

В евклидовом пространстве континуумом называется связное, замкнутое, ограниченное множество, всюду плотное в себе.

Исходя из этих понятий, под континуумом материальных точек в определении 4 понимается:

совокупность материальных точек, состоящая из несчетного их множества, причем геометрическим образом этой совокупности в евклидовом пространстве в любой момент времени является:

• ограниченное,

• замкнутое,

• связное множество,

• всюду плотное в себе.

Под всюду плотным в себе множеством точек евклидова пространства понимается множество, которое обладает следующим свойством:

-любая фиксированная точка из в любой сколь угодно малой окрестности содержит точки множества , отличные от фиксированной.