4.2. Вычисление ускорения. Теорема Гюйгенса

Обратимся теперь к выводу формулы для вычисления ускорения материальной точки.

По определению ускорения имеем

.

Заменяя в правой части  на , и дифференцируя по , получим

.

Воспользуемся формулой Френе

,

где

– орт главной нормали к траектории в том положении, которое занимает на ней точка  в момент времени ;

– кривизна траектории;

– радиус кривизны траектории в этом положении.

Тогда выражение для примет вид:

. (1.2.16)

Вектор

называется касательным (тангенциальным) ускорением точки  .

Вектор

называется нормальным ускорением точки  .

Величина скорости обозначена

.

Формула (1.2.16) составляет предмет теоремы Гюйгенса.

Теорема Гюйгенса

Вектор мгновенного ускорения точки  (ускорения в момент времени  ) находится в соприкасающейся плоскости к траектории ее движения и равен векторной сумме касательного (тангенциального) ускорения

и нормального ускорения

.

Дополнения к лекции 1 по главе 1 «Кинематика точки»

1. Дополнение 1 к главе 1, §2, пункт 1 

Дополнение содержит основные сведения из дифференциальной геометрии, используемые при описании движений, задаваемых естественным способом.

§2. Естественный способ задания движения точки

2º. Основные определения из дифференциальной геометрии

2.1. Способы задания кривой

Как показано в главе 1, §2, пункт 1 , траектория движения материальной точки, задаваемая при описании его естественным способом, представляет собой кривую линию в трехмерном пространстве  с системой отсчета  .

Поэтому требование задать траекторию означает, что надо задать кривую в трехмерном пространстве.

Как известно из дифференциальной геометрии, кривая в пространстве  с системой координат  может быть задана одним из следующих способов:

• векторный,

• параметрический,

• явное задание кривой,

• неявное задание кривой.

1). Векторный способ

Задается векторная функция ,  и полагается

. (1.2.2)

Здесь

— радиус-вектор точки на кривой,

— параметр, принимающий все значения из промежутка .

Векторная функция называется параметризацией кривой.

Если сделаем замену

, ,

при которой промежуток изменения параметра однозначно отображается в промежуток изменения параметра , то подстановкой в (1.2.2)

(1.2.2)

получим

, , (1.2.3)

где

.

Соотношение (1.2.3) задает геометрически ту же кривую, что и соотношение (1.2.2).

В таком случае говорят, что данная кривая задается в параметризации .

2). Параметрический способ

В декартовой прямоугольной системе координат  задаются координаты точки на кривой

, .

3). Явное задание кривой

В декартовой прямоугольной системе координат  оно имеет вид:

• на плоскости 

, ;

• в пространстве 

,  , .

При явном задании кривой роль параметра играет одна из координат (в указанном здесь задании — это координата  ).

4). Неявное задание кривой

Такое задание имеет вид:

– на плоскости  ;

, — в пространстве  в ДПСК  .