2.2. Вычисление скорости и ускорения при координатном способе задания движения

2.2.1. Вычисление скорости по движению

По определению скорости точки  имеем

, (1.1.16)

где — вектор-функция, задающая движение этой точки.

При координатном способе описания движения вектор-функция вычисляется по формуле (1.1.13)

. (1.1.13)

через координатные функции , либо по формуле (1.1.15)

. (1.1.15)

через координатные функции .

Поэтому из (1.1.13) и (1.1.15) будем иметь, соответственно,

, .

Таким образом, подставляя в (1.1.16),

, (1.1.16)

получим следующее выражение для скорости :

• при задании положения точки в декартовых координатах это выражение примет вид

; (1.1.17)

• при задании положения точки в аффинных координатах , соответственно, будем иметь

. (1.1.18)

2.2.2. Вычисление координат скорости

Обозначим:

— координаты вектора  в системе отсчета  ,

— координаты вектора  в аффинной системе  .

По определению координат вектора можем записать

, .

Сопоставляя эти соотношения с (1.1.17) и (1.1.18):

; (1.1.17)

. (1.1.18)

видим, что в момент времени координаты скорости  совпадают с производными от координат вектора в системе , если движение задается декартовыми координатами, и с производными от координат вектора в системе , если движение задается аффинными координатами:

, , ;

, , .

Геометрически координаты вектора скорости  можем получить путем совмещения начала вектор-функции с точкой отсчета и проектирования конца вектора на соответствующие координатные оси.

2.2.3. Вычисление ускорения по движению

Для вычисления ускорения точки действуем аналогично.

Учитывая, что по определению ускорения точки имеем

,

получим:

• при задании движения в декартовых координатах выполняются равенства

;

• при задании движения в аффинных координатах эти равенства приобретают вид

.

2.2.4. Вычисление координат ускорения

Если обозначим — декартовые координаты вектора  , а — его аффинные координаты, то связь  со вторыми производными от заданных координатных функций , будет такова:

, , ;

.

2.2.5. Вычисление модуля скорости и модуля ускорения

Из полученных выражений для и легко выписываются формулы для вычисления модуля скорости и модуля ускорения, а также для направляющих косинусов этих векторов.

Для и будем иметь:

;

.

Для направляющих косинусов вектора скорости имеем:

, , .

Аналогично, для направляющих косинусов вектора ускорения  находим:

, , .

В аффинной системе координат формула для вычисления модуля скорости может быть получена из следующих соотношений:

.

В матричном представлении эта формула принимает вид

,

где введены обозначения:

— вектор-столбец, составленный из производных от заданных координатных функций ,  ;

— матрица метрических коэффициентов аффинной системы координат.

Символ обозначает операцию транспонирования.

Аналогично, получается формула для :

.

Здесь — вектор-столбец, составленный из вторых производных от заданных координатных функций ,  .