§2. Естественный способ задания движения точки

1º. Понятие траектории движения

1.1. График движения

Пусть движение материальной точки описывается векторным способом

, , (1.2.1)

где — промежуток времени (отрезок или интервал, или полуинтервал), на котором рассматривается движение, , — множество вещественных чисел.

Соотношение (1.2.1) в каждый момент времени задает в евклидовом пространстве  положение геометрической точки, в котором находится в этот момент движущаяся материальная точка.

Дополним пространство  четвертым независимым измерением — временной осью .

В таком четырехмерном пространстве уравнение (1.2.1) при изменении координаты задает кривую, которая называется графиком движения.

1.2. Траектория движения

Будем смотреть на время в соотношении (1.2.1) как на параметр, принимающий значения из промежутка  .

В абсолютном пространстве  построим множество  точек  , образованное концами векторов  при всех значениях этого параметра. За начало векторов  при всех будем брать точку отсчета  .

Очевидно, что множество  состоит из положений материальной точки, каждое из которых она может занимать в абсолютном пространстве хотя бы при одном значении параметра , совершая движение  .

Определение 1

Геометрическое место точек в абсолютном пространстве, состоящее из всех положений материальной точки, каждое из которых она занимает хотя бы в один момент времени, совершая движение  , называется траекторией материальной точки.

Аналитически траектория описывается равенством (1.2.1)

, . (1.2.1)

Оно, по сути, является непрерывным отображением множества вещественной оси  на трехмерное евклидово пространство  .

Такое отображение задает в  однопараметрическое семейство точек, которое в геометрии называется кривой.

Следовательно, траектория движения материальной точки — это кривая в трехмерном евклидовом пространстве.

В отличие от графика движения, который строится в четырехмерном пространстве, где четвертой координатой служит время  , траектория строится в трехмерном пространстве и является проекцией графика движения на абсолютное пространство  .

График движения — это всегда самонепересекающаяся кривая.

Траектория, как и график движения, может быть кривой самонепересекающейся.

Однако, в отличие от графика, она может быть также кривой замкнутой или самопересекающейся.

Кроме того, траектория может быть геометрической точкой, а график движения - нет.

Соотношение (1.2.1) – это векторное описание траектории.

Если в пространстве  фиксирована система отсчета  , то в координатной форме траектория движения определяется тремя равенствами

, , , ,

где — координатные функции вектор-функции  .

Пример

Пусть точка совершает движение в плоскости  на промежутке времени  по закону

, , .

Графиком ее движения, очевидно, будет являться винтовая линия на цилиндре радиуса  с осью, совпадающей с координатной осью изменения времени  (см. рис.1.2.1).

Траекторией движения является окружность радиуса  в плоскости  (см. рис.1.2.2) с центром в начале координат.

Рис.1.2.1 Рис.1.2.2

Стрелками указано направление движения точки по графику движения и по траектории при возрастании  .