2.1. Описание координатного способа задания движения
2.1.1. Выбор системы отсчета
Зафиксируем в пространстве точку отсчета и систему отсчета.
Если
в качестве системы отсчета выбрана
декартовая прямоугольная система
координат, то, как отмечено во Введении,
она будет обозначаться
или
,
где
— базис, а
— координаты точек в ней.
Если
в качестве системы отсчета принимается
аффинная система координат, то будем
обозначать ее
или
,
где
— базис, а
— координаты точек.
При
выборе аффинной системы
считается известной (задается) также
матрица метрических коэффициентов
,
где
, 
.
2.1.2. Понятие координат вектора и точки
Напомним определения из векторной алгебры.
Определение 1
Координатами
вектора
в заданной системе отсчета называются
коэффициенты в разложении вектора
по базисным векторам.
Из определения следует, что если обозначить
— координаты
вектора
в декартовой системе
,
— координаты
этого же вектора
в аффинной системе
,
то можем записать
, 
.
Определение 2
Координаты радиус-вектора точки относительно точки отсчета в заданной системе отсчета называются координатами этой точки в указанной системе отсчета.
Согласно определению 2 с учетом принятых обозначений координат точки в системах отсчета и можем записать
,
(1.1.10)
.
(1.1.11)
2.1.3. Задание движения точки через координатные функции
Если
задать в каждый момент времени
координаты
точки
в виде дважды непрерывно дифференцируемых
функций
,
то будем иметь
, 
, 
.
(1.1.12)
Тогда, подставляя (1.1.12) в (1.1.10), получим
.
(1.1.13)
Соотношение (1.1.13) позволяет определить положение точки в любой момент из промежутка времени, где заданы правые части равенств (1.1.12).
Причем, поскольку функции дважды непрерывно дифференцируемы, то вектор-функция , связанная с ними равенством (1.1.13), будет также дважды непрерывно дифференцируема.
А это значит, что соотношения (1.1.12):
, , . (1.1.12)
определяют движение материальной точки.
Аналогично,
задавая в каждый момент времени
аффинные координаты
точки
в виде дважды непрерывно дифференцируемых
функций
,
будем иметь
,
,
.
(1.1.14)
Подставляя (1.1.14) в (1.1.11):
, (1.1.11)
получим, что положение точки в любой момент времени может быть вычислено по формуле
.
(1.1.15)
Вектор – функция , вычисляемая по формуле (1.1.15), определяет движение материальной точки .
В отличие от (1.1.13), по формуле (1.1.15) движение определяется координатными функциями (1.1.14), задающими положение точки в аффинной системе отсчета.
Определение 3
Способ задания движения материальной точки по формуле (1.1.12):
, , , (1.1.12)
или (1.1.14)
, , (1.1.14)
называется координатным.
Для координатного способа, в отличие от векторного, существенным является выбор системы отсчета (выбор системы координат), в которой дается описание движения.