Основные операции над нечеткими отношениями

1) Объединение двух отношений R₁ и R₂.

Объединение двух нечетких отношений обозначается R₁R₂ и определяется выражением:

2) Пересечение двух отношений R₁ и R₂.

Пересечение двух нечетких отношений R₁ и R₂ обозначается R₁R₂ и определяется выражением:

3) Проекция нечеткого отношения R

Пусть R – нечеткое отношение, определенное на подмножестве декартова произведения XY.

Первой проекцией отношения R (проекция на X) называется нечеткое множество, заданное на множестве X, с функцией принадлежности:

.

Аналогично, второй проекцией (проекцией на Y) называется нечеткое множество, заданное на множестве Y, с функцией принадлежности:

.

Основные операции над нечеткими отношениями. Пример

На подмножестве декартова произведения XY, где X – это множество арбитров, обслуживающих матчи РФПЛ, а Y – это множество клубов РФПЛ, представим взаимосвязь типа «При судействе арбитра x_i клуб y_j по итогам матча часто проигрывает» в виде нечеткого отношения R, которое удобно задавать матрицей:

R =		Зенит	ЦСКА	Спартак	Анжи	Кубань	Амкар
	X1	0.3	0	0.1	0.4	0.5	0.7
	X2	0.3	0	0.2	0.6	0.6	1
	X3	0	0.4	0.3	0.2	0.4	0.8

Первая проекция отношения R (проекция на X) является нечетким множеством , определяющим термин «арбитры, имеющие “нелюбимые” клубы РФПЛ»:

Вторая проекция отношения R (проекция на Y) является нечетким множеством , определяющим термин «клубы РФПЛ, имеющие “неудобных” арбитров»:

Композиция двух нечетких отношений

В отличие от обычных (четких) отношений композицию (произведение) нечетких отношений можно определить разными способами.

Определение. Пусть R₁ – нечеткое отношение между X и Y, и R₂ – нечеткое отношение между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R₂R₁, определенное через R₁ и R₂ выражением:

называется (max-min)-композицией отношений R₁ и R₂.

Замечание:

В выражении для (max-min)-композиции операцию  можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для :

• ассоциативность и монотонность по каждому аргументу.

Определение. Пусть R₁ – нечеткое отношение между X и Y, и R₂ – нечеткое отношение между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R₂*R₁, определенное через R₁ и R₂ выражением:

называется (max-prod)-композицией отношений R₁ и R₂.

Композиция двух нечетких отношений. Пример

На подмножестве декартова произведения YZ, где Y – это множество клубов РФПЛ, а Z – это множество вариантов результатов матча, представим взаимосвязь типа «Для клуба y_j наиболее предсказуемый счет z_k в матчах РФПЛ» в виде нечеткого отношения R₂, которое удобно задавать матрицей:

R2 =		1:0	1:1	2:1	0:0
	Зенит	0.7	0.6	0.5	0.8
	ЦСКА	0.9	0.7	0.3	0.5
	Спартак	0.4	0.6	0.6	0.2
	Анжи	0	1	0.5	0.2
	Кубань	0.7	0.6	0.5	0.4
	Амкар	0.1	0.2	0.3	0

Композиция двух нечетких отношений R₁ («Редко бывает спорное судейство арбитра x_i в матчах с участием клуба y_j») и R₂ является нечетким отношением R₂R₁, определяющим взаимосвязь «Наиболее предсказуемый итог игры z_k при профессиональном судействе арбитра x_i в матче»:

R2R1 =		1:0	1:1	2:1	0:0
	x1	0.9	0.7	0.6	0.8
	x2	0.7	0.7	0.6	0.8
	x3	0.9	0.7	0.6	0.8