Декартово произведение нечетких множеств
Определение. Пусть A1, A2, ... , An – нечеткие подмножества универсальных множеств E1, E2, ... , En соответственно. Декартово произведение A = A1A2 ...An является нечетким подмножеством множества E = E1E2 ...En с функцией принадлежности:
A(x1, x2, ..., xn) = min{ A1(x1), A2(x2) , ... , An(xn) }.
Декартово произведение нечетких множеств – это нечеткое множество всех возможных кортежей, составленных из элементов исходных множеств.
Пример. Результатом декартово произведения нечеткого множества S («Точечная селекция»), определенного на X множестве натуральных чисел, и нечеткого множества B («Надежная оборона»), определенного на Y множестве футбольных клубов РФПЛ, будет нечеткое множество C, заданное на XY:
По сути, нечеткое множество С лингвистической интерпретации не имеет, но позволяет строить нечеткие отношения между кортежами. Например, «Потребность клуба в точечной селекции на позицию защитника».
Нечеткие отношения
Определение. Нечеткое отношение R на четких непустых множествах A1, A2 ,…, An – это нечеткое множество, определенное на подмножестве декартова произведения A1 A2 … An.
Замечания:
Степень принадлежности μR(a1,a2,…,an) показывает степень выполнения отношения R между элементами;
В случае конечных или счетных четких универсальных множеств очевидна интерпретация бинарного нечеткого отношения в виде взвешенного графа, в котором пара вершин (xi,xj) в случае отношения типа XRX соединяется ребром с весом μR(xi,xj), в случае отношения типа XRY пара вершин (xi,yj) соединяется ребром с весом μR(xi,yj);
В случае конечных или счетных четких универсальных множеств интерпретация бинарного нечеткого отношения возможна также в виде матрицы.
Нечеткие отношения. Примеры
1). Пусть:
X = {x1, x2, x3} – это множество арбитров, обслуживающих матчи РФПЛ;
Y = {«Зенит», «ЦСКА», «Спартак», «Анжи», «Кубань», «Амкар»} – это множество клубов РФПЛ.
Представим взаимосвязь типа «Редко бывает спорное судейство арбитра xi в матчах с участием клуба yj» в виде нечеткого отношения R1, которое удобно задавать матрицей:
R1 = |
|
Зенит |
ЦСКА |
Спартак |
Анжи |
Кубань |
Амкар |
X1 |
0.9 |
1 |
1 |
0.7 |
1 |
0.8 |
|
X2 |
0.8 |
0.7 |
0.8 |
0.7 |
0.6 |
0.5 |
|
X3 |
0.9 |
1 |
0.9 |
0.7 |
0.9 |
0.7 |
2). Пусть:
X и Y – теперь множество действительных чисел в промежутке от 50 до 500, определяющее размер бюджета футбольного клуба РФПЛ (млн. дол.).
Представим меру сравнения «Сопостовимые бюджеты» в виде бинарного нечеткого отношения R2, которое удобно задавать функцией:
Нечеткие отношения. Примеры. Окончание
3). Представим оценку типа «Одинаковая задача клубов xi и xj на сезон» в виде бинарного нечеткого отношения R3, которое удобно задавать взвешенным графом:
Определение. Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных пар (x, y), для которых функция принадлежности положительна:
S(R) = {(x, y): R(x, y) > 0}.
Для последнего примера носителем нечеткого отношения R3 является множество:
S(R3)= (Зенит, ЦСКА); (Зенит, Спартак); (Зенит, Анжи); (ЦСКА, Спартак), (ЦСКА, Анжи); (Спартак, Анжи); (Спартак, Кубань); (Анжи, Кубань); (Анжи, Амкар); (Кубань, Амкар) .