-
Задание №3.
Известно, что если k-ому
предприятию выделить x
единиц ресурсов, то количество
произведенной продукции будет равно
.
Требуется распределить A
единиц ресурсов между всеми предприятиями
так, чтобы выпуск продукции был
максимальным.
Таблица 2 – Зависимость выпуска продукции предприятий 1-4 от кол-ва ресурсов
|
X ед. ресур. |
|
|
|
|
|
1 |
8 |
6 |
3 |
4 |
|
2 |
10 |
9 |
4 |
6 |
|
3 |
12 |
10 |
8 |
7 |
|
4 |
16 |
12 |
11 |
9 |
|
5 |
17 |
13 |
16 |
13 |
|
6 |
20 |
15 |
18 |
16 |
Решение:
Обозначим
количество ресурсов, которое нужно
выделить k-ому предприятию.
Суммарная прибыль равна:
.
Переменные x удовлетворяют
ограничениям:
Уравнения состояний в данной задаче имеют вид:
, (1)
где
– количество средств, оставшихся после
k-го шага.
Введем функцию
– условная оптимальная прибыль,
полученная от k-го
предприятия, если между ними распределялись
оптимальным образом средства
.
Допустимые управления на k-ом
шаге удовлетворяют условию:
.
Уравнения Беллмана в данной задаче
имеют вид:
Все средства, оставшиеся к 4-му шагу,
следует вложить в 4-е предприятие. Для
возможных значений
получим:
.
Делаем все предположения относительно
остатка средств
к 3-му шагу. В зависимости от этого
выбираем
,
находим
и сравниваем для разных
при фиксированном
значения суммы
и выбираем максимальное значение
–
условная максимальная прибыль, полученная
при оптимальном распределении средств
между 3-м и 4-м предприятиями. Для каждого
значения
и
помещены в графы 5 и 6 таблицы 3соответственно.
Условная оптимизация на шагах k=2
и k=1 (
)проводится
аналогичным образом. Значения
и
находятся в столбцах 8 и 9 соответственно,
а значения
и
–в
столбцах 11 и 12.
Таблица 3 – Решение задачи ДП
|
|
|
|
k=3 |
k=2 |
k=1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
1 |
0 1 |
1 0 |
0+4=4 3+0=3 |
4 |
0 |
0+4=4 6+0=6 |
6 |
1 |
0+6=6 8+0=8 |
8 |
1 |
||
|
2 |
0 1 2 |
2 1 0 |
0+6=6 3+4=7 4+0=4 |
7 |
1 |
0+7=7 6+4=10 9+0=9 |
10 |
1 |
0+10=10 8+6=14 10+0=10 |
14 |
1 |
||
|
3 |
0 1 2 3 |
3 2 1 0 |
0+7=7 3+6=9 4+4=8 8+0=8 |
9 |
1 |
0+9=9 6+7=13 9+4=13 10+0=10 |
13 |
1 / 2 |
0+13=13 8+10=18 10+10=20 12+0=12 |
20 |
2 |
||
|
4 |
0 1 2 3 4 |
4 3 2 1 0 |
0+9=9 3+7=10 4+6=10 8+4=12 11+0=11 |
12 |
3 |
0+12=12 6+9=15 9+7=16 10+4=14 12+0=12 |
16 |
2 |
0+16=16 8+13=21 10+10=20 12+6=18 16+0=16 |
21 |
1 |
||
Продолжение таблицы 3 – Решение задачи ДП
|
5 |
0 1 2 3 4 5 |
5 4 3 2 1 0 |
0+13=13 3+9=12 4+7=11 8+6=14 11+4=15 16+0=16 |
16 |
5 |
0+16=16 6+12=18 9+9=18 10+7=17 12+4=16 13+0=13 |
18 |
1 / 2 |
0+18=18 8+16=24 10+13=23 12+10=22 16+6=22 17+0=17 |
24 |
1 |
|
6 |
0 1 2 3 4 5 6 |
6 5 4 3 2 1 0 |
0+16=16 3+13=16 4+9=12 8+7=15 11+6=17 16+4=20 18+4=22 |
22 |
6 |
0+22=22 6+16=22 9+12=21 10+9=19 12+7=19 13+4=17 15+0=15 |
22 |
0 / 1 |
0+22=22 8+18=26 10+16=26 12+13=25 16+10=26 17+6=23 20+0=20 |
26 |
1 / 2 / 4 |
Согласно расчетам таблицы 3
усл.
ед. Заключительный шаг – расчет
распределений.
Используя уравнения (1) получим оптимальные решения задачи ДП:
В результате найдены четыре оптимальных
решения:
Ответ:
при
4-х оптимальных решениях: