Задание №2

Предположим, что для изготовления продукции Р1 и Р2 требуется использование трёх видов ресурсов R1, R2, R3. Количество ресурсов и нормы их расхода на изготовление единицы каждого вида продукции известны и задаются в таблице

Виды ресурсов	Количество ресурсов	Р1	Р2
R1	95	2.8−0.013х1	4.2−0.018х2
R2	90	2	3
R3	80	1	3

Прибыль, получаемая предприятием от реализации единицы продукции Р1 и Р2, составляет соответственно 3.2−0.1х₁ и 4.4−0.1х₂ Требуется составить такой план выпуска продукции видов Р1 и Р2, при котором прибыль предприятия от реализации продукции оказалась бы максимальной.

Решение

Запишем целевую функцию прибыли z и систему ограничений по ресурсам.

Для начала найдём экстремальную точку (если она принадлежит области допустимых решений, заданной ограничениями, необходимо будет проверить характер этой точки и завершить решение. Если нет, решим графически). Для этого частные производные приравняем нулю и решим полученную систему.

Отсюда , z=74.

Проверим на выполнение ограничений.

Все ограничения нарушены, экстремальная точка выходит за область допустимых решений. Решаем графическим способом.

Построим графики ограничений, заменив на =, и две линии уровня целевой функции z. Они представлены на рисунке 1. Областью допустимых решений задачи является фигура OAB.

Рисунок 1 — Область допустимых решений задачи

Очевидно, что при увеличении значения целевой функции крайняя точка, когда линия уровня функции ещё будет касаться области допустимых решений, будет лежать на линии (первое ограничение). Соответственно, градиенты целевой функции и первого ограничения в этой точке будут лежать на одной прямой, то есть, их координаты будут пропорциональны. Запишем координаты градиентов и составим систему уравнений.

Преобразуем первое уравнение.

Система примет вид

Теперь подставим первое уравнение во второе.

Домножим обе части на

Для решения данного уравнения воспользуемся методом Ньютона. По графику на рис. 2 (увеличен масштаб) видно, что корень принадлежит интервалу [10.5; 13.5].

Рисунок 2 — Уточнение корня

Для того, чтобы решить уравнение методом Ньютона, необходимо проверить несколько условий:

1. Функция f(x) определена и дважды дифференцируема на данном интервале.

Условие выполняется.

2. Интервалу принадлежит только один простой корень уравнения.

Условие выполняется.

3. Производные и на интервале сохраняют знак,

Если знаки в начале и конце интервала будут совпадать, значит, на интервале знак сохраняется.

Производные сохраняют знак на интервале.

Возьмём начальное приближение так, чтобы выполнялось условие

Например, 10.5 ()

Вычисления будем производить по формуле:

Зададим точность 0,0001.

В итоге получилось (округляем вниз, чтобы не выйти за ограничения)

Проверим решение на соответствие ограничениям (знак равенства в первом, потому что оптимальная точка лежит на этой линии, как было установлено)

В данной точке значение целевой функции

Ответ: