Задание 6

Методами простых итераций и Ньютона найти корни уравнения с точностью : .

Решение методом простых итераций

Корень уравнения принадлежит отрезку [1.5; 3]. Преобразуем уравнение к виду Для этого сначала запишем его в форме . следовательно функция удовлетворяет условию сходимости

Зададим начальное приближение Выполним расчеты по формуле:

, p=0,1,2,… . Результаты расчетов:

x⁽¹⁾=2.40268151

Ответ: 2.40268151.

Решение методом Ньютона

Корень уравнения принадлежит отрезку [1.5; 3].

Зададим начальное приближение

В этой точке

следовательно,

Выполним расчеты по формуле:

, p=0,1,2,… Результаты расчетов в Matlab:

Решение задачи №6 методом Ньютона.

df =

(19*tan((19*x)/10)^2)/10 - 9/10

str =

(19*tan((19*x)/10)^2)/10 - 9/10

--------------------------------------------------

ans =

Шаг 1

--------------------------------------------------

f =

-0.208720861028748

df =

79.653836448645123

x =

2.402620349129867

Error =

0.002620349129867

--------------------------------------------------

ans =

Шаг 2

--------------------------------------------------

f =

0.007240615185434

df =

85.273617170239660

x =

2.402535438750482

Error =

8.491037938451740e-005

Корень уравнения равен:

x_answer =

2.402535438750482

Ответ: 2.402535438750482

Задание 7

Выписать интерполяционный многочлен Ньютона для узловых значений , заданных функцией Найти погрешность в точке

Вычислим значения функции в точках

i	0	1	2	3	4
	-2.0	-1.8	-1.4	-1.2	-0.5
	-10	-14.9024	-20.3584	-21.5264	-21.4375

Вычислим коэффициенты по формулам:

-10;

Построим интерполяционный многочлен Ньютона по формуле:

Вычислим значение функции в точке : Значение функции в этой же точке: Погрешность:

Ответ: погрешность: 0,065489.

Задание 8

Вычислить решение методом Рунге-Кутты-Мерсона с точностью ε=0,00001. Построить график решения в Matlab.

% Решение задачи №8 (вычисление решения методом Рунге-Кутты-Мерсона).

%--------------------------------------------------------------------------

clc;

clear;

%--------------------------------------------------------------------------

options = odeset ('RelTol', 1e-5); % Задание точности, равной 0.00001.

[T,Y] = ode45(@FunctionRKM,[0 10], [0.5], options); % Решение методом ode45.

newplot = plot(T,Y(:,1),'b'), grid % Построение графика решения.

set(newplot, 'LineWidth', 2); % Установка жирной линии графика newplot.

% Подписываем название графика, оси и легенду:

title('Графическое решение методом Рунге-Кутты-Мерсона.');

xlabel('Ось X');

ylabel('Ось Y''');

legend('y'' = x^3*y^2-5*x^8*y+25*x^4');

%--------------------------------------------------------------------------

function dy = FunctionRKM(x,y)

dx = zeros(1,1); % Формирование массива нулей 1x1.

k(1) = 1; % Задание

k(2) = -5; % коэффициентов.

k(3)=25;

dy(1) = k(1)*x^3*y^2+k(2)*x^8*y+k(3)*x^4;

%--------------------------------------------