МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Расчетно-графическая работа

по дисциплине «Численные методы»

Вариант № 29

Выполнил:

Студент

Группа ФБИ-22

Факультет Бизнеса

Преподаватель: Соболева О.Н.

Новосибирск 2014

Задание 1

Запишите порядок выполняемых вами операций, оцените погрешности их результатов, вычислите и запишите искомое значение. Определите число верных знаков.

a=0.02456±0.00005; b=0.01823±0.00005; c=0.348±0.001

- точное значение

- приближенное значение

Δx-абсолютная погрешность

- относительная погрешность

Порядок выполняемых операций:

Находим абсолютную и относительную погрешности

1. (1+c);

2. ;

3. ;

4. (a+b)

5. 

6. 

7. ;

8. 

9. *

Воспользуемся универсальными оценками:

= 1.83595962

Предельная абсолютная погрешность:

F= = 0.008814431

Определение числа верных знаков:

; ;

6: 5* < 2.9308*

8: 5* < 2.9308*

9: 5* < 2.9308*

9: 5* < 2.9308*

4: 5* < 2.9308*

2: 5* > 2.9308*

3: 5* > 2.9308*

3: 5* > 2.9308*

Следовательно 2, 3, 3 верные цифры.

Ответ: m=3, F=-3.3249986*.

Задание 2

Выясните погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с m верными значащими цифрами

m=5, a=0.02456; b=0.01823; c=0.348.

Полагаем верными 5 цифр, тогда

Относительная погрешность

Абсолютная погрешность **

;

a*0.02456*= 0.45419569

b* 0.01823*= 0.0001836209

0.348*1.83595962 = 0.63891395

a* b*+

Допустимая погрешность данных

Задание 3

Решить СЛАУ методом Гаусса и с точностью ε=0,001 методом простой итерации.

Метод Гаусса:

Перепишем систему уравнений в матричном виде:

A=

Первую строку делим на 3.3:

A=

От второй и третьей строк отнимаем первую строку, умноженную на 4.2 и 2.1 соответственно:

A=

Вторую строку делим на 3.536:

A=

Третью строку делим на -:

A=

Из 3 строки вычитаем 2:

A=

Третью строку делим на -5.0278:

A=

Ответ: Х=  

Метод простой итерации:

Приводим исходную матрицу к матрице с диагональным преобладанием

, , .

Преобразуем исходную систему   , 

к виду x=Bx+φ.

, , ,  ,, , 

Тогда получим  B=,  φ=

При этом норма матрицы  ǁBǁ=0.909091 < 1, следовательно, достаточное условие выполняется.

Зададим X⁽⁰⁾=φ=.

X⁽¹⁾=BX⁽⁰⁾+φ=*+

= .

Ɛ ⁽¹⁾ = ǁ X⁽¹⁾-X⁽⁰⁾ǁ=0.940877 > Ɛ.

X⁽²⁾=BX⁽¹⁾+φ=*.+

= .

Ɛ ⁽²⁾ = ǁ X⁽²⁾-X⁽¹⁾ǁ=0.598741 > Ɛ.

X⁽³⁾=BX⁽²⁾+φ= .

Ɛ ⁽³⁾ = ǁ X⁽³⁾-X⁽²⁾ǁ=0.206575 > Ɛ.

X⁽⁴⁾=BX⁽³⁾+φ= .

Ɛ ⁽⁴⁾ = ǁ X⁽⁴⁾-X⁽³⁾ǁ=0.131457 > Ɛ.

X⁽⁵⁾=BX⁽⁴⁾+φ= .

Ɛ ⁽⁵⁾ = ǁ X⁽⁵⁾-X⁽⁴⁾ǁ=0.045371 > Ɛ.

X⁽⁶⁾=BX⁽⁵⁾+φ= .

Ɛ ⁽⁶⁾ = ǁ X⁽⁶⁾-X⁽⁵⁾ǁ=0.028873 > Ɛ.

X⁽⁷⁾=BX⁽⁶⁾+φ= .

Ɛ ⁽⁷⁾ = ǁ X⁽⁷⁾-X⁽⁶⁾ǁ=0.009768 > Ɛ.

X⁽⁸⁾=BX⁽⁷⁾+φ= .

Ɛ ⁽⁸⁾ = ǁ X⁽⁸⁾-X⁽⁷⁾ǁ=0.006216 > Ɛ.

X⁽⁹⁾=BX⁽⁸⁾+φ= .

Ɛ ⁽⁹⁾ = ǁ X⁽⁹⁾-X⁽⁸⁾ǁ=0.002062 > Ɛ.

X⁽¹⁰⁾=BX⁽⁹⁾+φ= .

Ɛ ⁽¹⁰⁾ = ǁ X⁽¹⁰⁾-X⁽⁹⁾ǁ=0.001312 > Ɛ.

X⁽¹¹⁾=BX⁽¹⁰⁾+φ= .

Ɛ ⁽³⁾ = ǁ X⁽³⁾-X⁽²⁾ǁ=0.000427 < Ɛ, следовательно, решение с заданной точностью найдено.

Ответ: X= .

Задание 4

Методом вращения с точностью ε=0,00001 вычислить собственные значения и собственные векторы симметрической матрицы А.

Максимальный по модулю наддиагональный элемент равен 

Определим угол поворота

Тогда матрица поворота H⁽⁰⁾ определяется следующим образом 

H⁽⁰⁾ =

Отсюда получим

А⁽¹⁾=(H⁽⁰⁾)^T*A⁽⁰⁾*H⁽⁰⁾=

Максимальный по модулю наддиагональный элемент равен 

Определим угол поворота

Тогда матрица поворота H⁽¹⁾ определяется следующим образом 

H⁽¹⁾ =

Отсюда получим

А⁽²⁾=(H⁽¹⁾)^T*A⁽¹⁾*H⁽¹⁾=

Максимальный по модулю наддиагональный элемент равен 

Определим угол поворота

Тогда матрица поворота H⁽²⁾ определяется следующим образом 

H⁽²⁾ =

Отсюда получим

А⁽³⁾=

Максимальный по модулю наддиагональный элемент равен 

Определим угол поворота

Тогда матрица поворота H⁽³⁾ определяется следующим образом 

H⁽³⁾ =

Отсюда получим

А⁽⁴⁾=

Максимальный по модулю наддиагональный элемент равен 

Определим угол поворота

Тогда матрица поворота H⁽⁴⁾ определяется следующим образом 

H⁽⁴⁾ =

Отсюда получим

А⁽⁵⁾=

Максимальный по модулю наддиагональный элемент равен 

Определим угол поворота

Тогда матрица поворота H⁽⁵⁾ определяется следующим образом 

H⁽⁵⁾ =

Отсюда получим

А⁽⁶⁾=

Максимальный по модулю элемент ательно, для решения задачи потребовалось 6 итераций.

Собственные числа:.

Найдем собственные векторы:

;

Ответ:;

; ;

Задание 5

Найти степенным методом с точностью ε=0,0001 максимальное по модулю собственное число λ₁ матрицы А и соответствующий ему собственный вектор Х⁽¹⁾, так, чтобы ǁХ⁽¹⁾ǁ₂=1. Проверить, вычислив невязку АХ⁽¹⁾-λ₁Х⁽¹⁾. Найти противоположную к λ₁ границу спектра собственных чисел.

Решение:

А=

Выбираем начальное приближение собственного вектора Х¹⁽⁰⁾=. Найдем:

Х¹⁽¹⁾=А* Х¹⁽⁰⁾= =;

λ₁⁽¹⁾= = = 3,80412.

Вычислим:

Х¹⁽²⁾=А* Х¹⁽¹⁾= =;

λ₁⁽²⁾= = = 4,00088.

Так как │ λ₁⁽²⁾- λ₁⁽¹⁾ │= 0,1967533869 > ε , то процесс необходимо продолжить. Результаты вычислений представлены в таблице 1.

Таблица 1. Результаты вычислений

k	x11(k)	x21(k)	x31(k)	λ1(k)	│ λ1(k)- λ1(k-1) │
0	1000,00000	-900,00000	0,00000	-	-
1	3804,12400	-1317,76700	424,54500	3,80412	-
2	15219,83369	-1298,08227	2519,46378	4,00088	0,1967533869
3	62331,48953	1836,84355	11729,89759	4,09541	0,0945346134
4	257774,89655	20109,82634	51198,28828	4,13555	0,0401364759
5	1070709,60000	105406,68629	216628,26107	4,15366	0,0181127775
6	4454550,12288	475967,82685	910471,71015	4,16037	0,0067106369
7	18548119,43708	2047929,87615	3799162,00747	4,16386	0,0034872928
8	77248256,79729	8638544,07385	15862637,32207	4,16475	0,0008895427
9	321782516,74413	36188615,61119	66058931,89950	4,16556	0,0008147453
10	1340399279,45176	151046509,89983	275430667,30169	4,16554	0,0000193237
11	5583864336,13239	629922956,83201	1146875491,80034	4,16582	0,0002775009
12	23260749402,77740	2624698331,49048	4779874372,60558	4,16571	0,0001134576
13	96900651230,82160	10937050278,22860	19905485543,26930	4,16584	0,0001357185
14	403664271573,54200	45559875760,85230	82945535328,73270	4,16575	0,0000899497

Точность достигнута на 14 итерации. │ λ₁⁽¹⁴⁾- λ₁⁽¹³⁾ │=0,0000899497 < ε .

λ _{max =4,16575;}

Х^*=.

По условию ǁх⁽¹⁾ǁ₂=1, следовательно, умножаем собственный вектор на 1,8791*10^-12.

Х^*=.

АХ⁽¹⁾-λ₁Х⁽¹⁾ = – _4,16575* =

= – = .

Так как λ₁(А)>0, следовательно, требуется найти λ^*=min λ₂(A). λ₂(B)≤ 0.

λ^*– λ₁(А)=max λ₂(B);

B= A – λ₁(А)*E=_4,16575* =

=

Х¹⁽⁰⁾=. Найдем:

Х¹⁽¹⁾=B* Х¹⁽⁰⁾==;

λ₁⁽¹⁾= = =1,05048.

Вычислим:

Х¹⁽²⁾=А* Х¹⁽¹⁾= =;

λ₁⁽²⁾= = = -7,45197.

Так как │ λ₁⁽²⁾- λ₁⁽¹⁾ │= 8,5024552858 > ε , то процесс необходимо продолжить. Результаты вычислений представлены в таблице 2.

Таблица 2. Результаты вычислений

k	x11(k)	x21(k)	x31(k)	λ1(k)	│ λ1(k)- λ1(k-1) │
0	1,00000	0,00000	1,00000	–	–
1	1,05049	1,09719	-5,71495	1,05049	–
2	-7,82822	-8,54433	42,79622	-7,45197	8,5024552858
3	58,58210	64,84204	-320,75860	-7,48346	0,0314910096
4	-438,97909	-488,09015	2404,78241	-7,49340	0,0099428414
5	3290,86981	3664,41711	-18030,75183	-7,49664	0,0032444506
6	-24673,95598	-27487,83170	135196,38879	-7,49770	0,0010568325
7	185006,41921	206137,02848	-1013726,13941	-7,49804	0,0003440503
8	-1387207,07631	-1545725,89097	7601120,15635	-7,49816	0,0001119842
9	10401546,25275	11590341,74179	-56994770,04216	-7,49819	0,0000364473

λ₁⁽⁹⁾= = -7,49819.

│ λ₁⁽²⁾- λ₁⁽¹⁾ │= 0,0000364473 < ε;

λ^*= -7,49819+4,16575= -3,33244.