Задание 5
Найти степенным методом с точностью ε=0,00001 максимальное по модулю собственное число λ1 матрицы А и соответствующий ему собственный вектор Х(1), так, чтобы ǁХ(1)ǁ2=1. Проверить, вычислив невязку АХ(1)-λ1Х(1). Найти противоположную к λ1 границу спектра собственных чисел.
Решение
Выбираем
начальное приближение собственного
вектора
Вычислим:
Так как
то процесс необходимо продолжить. Результаты вычислений представлены в таблице 1.
Таблица 1. Результаты вычислений
|
k |
x11(k) |
x21(k) |
x31(k) |
λ1(k) |
│ λ1(k)- λ1(k-1) │ |
|
0 |
2 |
1 |
1 |
- |
- |
|
1 |
-5.871130 |
5.643040 |
2.619680 |
-2.935565 |
- |
|
2 |
39.237788 |
16.242500 |
-21.541284 |
-6.683176 |
3.747611 |
|
3 |
-224.809139 |
92.918403 |
161.555526 |
-5.729404 |
0.953772 |
|
4 |
1551.829506 |
168.585226 |
-1004.794511 |
-6.902876 |
1.173472 |
|
5 |
-9707.407580 |
1882.156157 |
6740.759322 |
-6.255460 |
0.647416 |
|
6 |
64509.453335 |
-723.587182 |
-43022.152759 |
-6.645384 |
0.389924 |
|
7 |
-413642.057660 |
49142.088656 |
282611.135356 |
-6.412115 |
0.233269 |
|
8 |
2709287.264191 |
-147672.909314 |
-1824693.814037 |
-6.549835 |
0.13772 |
|
9 |
-17522530.450063 |
1622620.367824 |
11902424.771960 |
-6.467579 |
0.082256 |
|
10 |
114182468.827263 |
-7982972.308433 |
-77167855.377759 |
-6.516323 |
0.048744 |
|
11 |
-740735370.000005 |
61765993.745610 |
502121308.617205 |
-6.487295 |
0.029028 |
|
12 |
4818135566.432824 |
-363153800.392664 |
-3260218556.500314 |
-6.504530 |
0.017235 |
|
13 |
-31290314569.428321 |
2507387685.961044 |
21195320414.884292 |
-6.494279 |
0.010251 |
|
14 |
203398615653.933877 |
-15723222795.643053 |
-137690257942.367347 |
-6.50037 |
0.006091 |
|
15 |
-1321429599077.421756 |
104372800745.689913 |
894875492993.686215 |
-6.496748 |
0.003622 |
|
16 |
8587839649369.700981 |
-669720326894.190229 |
-5814406688808.130628 |
-6.498901 |
0.002153 |
|
17 |
-55800528277251.498024 |
4384756842655.041911 |
37784833203230.146747 |
-6.497621 |
0.00128 |
|
18 |
362613128128952.616230 |
-28365701618745.884030 |
-245520868955525.702299 |
-6.498382 |
0.000761 |
|
19 |
-2356234565084591.117185 |
184813184638652.205540 |
1595452231730733.109888 |
-6.49793 |
0.000452 |
|
20 |
15311279383953795.313828 |
-1199041276873177.876043 |
-10367275553065650.450514 |
-6.498198 |
0.000268 |
|
21 |
-99493283647528115.008468 |
7798799336760882.711520 |
67368073920881260.170715 |
-6.498039 |
0.000159 |
|
22 |
646520638501449049.999855 |
-50649122153673555.281128 |
-437762419929343451.628482 |
-6.498045 |
0.000059 |
|
23 |
-4201140926580681219.387252 |
329232045934330347.702997 |
2844630612383451057.390141 |
-6.498077 |
0.000032 |
|
24 |
27299478389080753496.447463 |
-2138960797646334160.371803 |
-18484659925101595313.616319 |
-6.498111 |
0.000034 |
|
25 |
-177394485559680326822.800248 |
13900804496818868577.401768 |
120115244815917784061.082241 |
-6.498091 |
0.00002 |
|
26 |
1152727552419634137315.746619 |
-90322505262100244078.345502 |
-780520213226069824647.843315 |
-6.498103 |
0.000012 |
Точность достигнута на 26 итерации
По условию
ǁх(1)ǁ2=1,
следовательно, умножаем собственный
вектор на
Найдем невязку:
Так
как
Выбираем
начальное приближение собственного
вектора
Таблица 2. Результаты вычислений
|
k |
x11(k) |
x21(k) |
x31(k) |
λ1(k) |
│ λ1(k)- λ1(k-1) │ |
|
0 |
1,00000 |
0,00000 |
1,00000 |
– |
– |
|
1 |
4.41419 |
1.01245 |
6.40202 |
1.01245 |
– |
|
2 |
25.532993 |
15.086939 |
35.962996 |
-7.45197 |
8.5024552858 |
|
3 |
153.113172 |
181.668439 |
205.104899 |
-7.48346 |
0.0314910096 |
|
4 |
-438.97909 |
-488.09015 |
2404.78241 |
-7.49340 |
0.0099428414 |
|
5 |
3290.86981 |
3664.41711 |
-18030.75183 |
-7.49664 |
0.0032444506 |
|
6 |
-24673.95598 |
-27487.83170 |
135196.38879 |
-7.49770 |
0.0010568325 |
|
7 |
185006.41921 |
206137.02848 |
-1013726.13941 |
-7.49804 |
0.0003440503 |
|
8 |
-1387207.07631 |
-1545725.89097 |
7601120.15635 |
-7.49816 |
0.0001119842 |
|
9 |
10401546.25275 |
11590341.74179 |
-56994770.04216 |
-7.49819 |
0.0000364473 |
|
10 |
15602323.879125 |
17385511.5 |
-85492155.06324 |
-7.480339 |
0.0000132 |
Ответ:
