Взаимодействие квантовых систем с электромагнитным излучением

Представим себе теперь двухуровневую квантовую систему, облучаемую электромагнитной волной, частота которой совпадает частотой v₂₁= (W₂-W₁)/ ћ. Требуется определить характер энергообмена между облучающим электромагнитным полем и молекулярной системой, т.е. будет ли облучающее поле усиливаться или ослабляться.

Частицы верхнего уровня спонтанно излучают энергию независимо от попавшего в систему электромагнитного излучения (11).

Наряду с излучением энергии за время dt частицы нижнего уровня в количестве dN₁ поглотят энергию. Число dN₁ поглощен­ных квантов пропорционально плотности энергии ρ в объеме на частоте перехода v₂₁ и числу частиц нижнего уровня, т. е.

dN₁ = B₁₂ρN_ldt. (18)

Коэффициент пропорциональности В₁₂ называют коэффициентом Эйнштейна для поглощения. Значение B₁₂ ρ= dN₁/N_ldt является вероятностью поглощения. Таким образом, число вынужден­ных переходов в единицу времени с поглощением кванта про­порционально вероятности поглощения и населенности нижнего уровня:

dN₁/dt = B₁₂ρN_l (19)

Число же вынужденных переходов в единицу времени с испуска­нием кванта пропорционально плотности энергии внешнего поля на частоте перехода и числу частиц N₂ на верхнем уровне:

dN₂/dt = B₂₁ρN_2, (20)

где В₂₁ — коэффициент Эйнштейна для вынужденного излучения. Произведение ρВ₂₁ представляет собой вероятность вынужденного излучения. Отметим, что при этом энергия внешнего поля не рас­ходуется.

При тепловом равновесии в установившемся режиме количест­во переходов сверху вниз (спонтанных и вынужденных) и снизу вверх совпадает. Тогда с учетом (10), (19) и (20) получаем

ρВ₂₁N₁ = A₂₁N₂+ ρВ₂₁N₂ , (21)

откуда найдем плотность энергии в объеме:

ρ=А₂₁/[B₁₂(N₁/N₂)-B₂₁]. (22)

При данной абсолютной температуре Т соотношение населенностей определяется законом Больцмана

N₁/N₂ = ехр [(W₂ - W₁)/kT], (23)

где k — постоянная Больцмана. Подставляя (23) в (22), с уче­том (2) получаем

ρ=А₂₁/[B₁₂ ехр (hν₂₁/kT)- B_21. (24)

Рассмотренная квантовая система при отсутствии излучения представляет не что иное, как модель абсолютно черного тела, для которого плотность энергии определяется известной форму­лой Планка:

ρ = 8 πv³/c³ [ехр (hν/kT) — 1]. (25)

Следовательно, (24) и (25) должны совпадать. Если ν = ν₂₁, то это возможно только при выполнении двух условий:

В₁₂ = В₂₁ = В; (26)

A₂₁/B=8πhv³₂₁/c³ (27)

где с — скорость света, h — постоянная Планка.

Из полученных выражений вытекают два весьма важных вы­вода: коэффициенты Эйнштейна для поглощения и излучения рав­ны между собой; отношение вероятностей спонтанного и вынуж­денного излучений пропорционально третьей степени частоты пе­рехода.

Интересуясь только вынужденными излучением и поглощени­ем, сопоставим количество излученной и поглощенной энергии. Поскольку частица излучает либо поглощает одну и ту же энергию, то необходимо сравнить числа частиц, излучающих энергию и поглощающих ее. Из (18) и (20) с учетом (26) получаем

dN₁ = ρBN_tdt (28)

dN₂ = ρBN₂dt. (29)

При условии hv₂₁>>kT из (23) получаем N₁>>N₂, т. е. число dN₁ частиц, поглощающих энергию, значительно больше числа dN₂ частиц, излучающих ее.

Следовательно, двухуровневая система, находящаяся в термо­динамическом равновесии, облученная электромагнитным полем, не только не усиливает, но даже ослабляет его. Поэтому квантовая система без какой-либо подготовки не может быть использо­вана для усиления и генерации.