Упражнения к § 5

1. Пусть , – произвольные векторы пространства . Показать, что скалярное произведение в можно определить следующими способами:

1. ;

2. .

Вычислить скалярное произведение векторов и и угол между ними каждым из этих способов.

2. Применить процесс ортогонализации к следующим векторам пространства : ; ; .

3. Дополнить следующую систему векторов до ортонормированных базисов:

1) ; ;

3. ; .

4. Применяя процесс ортогонализации, построить ортонормированный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов:

(1, 2, 2, -1); (1, 1, -5, 3); (3, 2, 8, -7).

5. Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство L:

1. , L натянуто на векторы , , ;

2. , L натянуто на векторы , , .

6. Найти расстояние от точки, заданной вектором , до линейного многообразия, заданного системой уравнений:

,

.

Литература

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1980.

2. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1971.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.

4. Баскаков А.Г. Лекции по алгебре. – Воронеж: Воронеж. ун-т, 1999.

5. Фаддеев Д.К., Соминский Н.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1977.

6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – 7-е изд. – М.: Наука, 1984.

7. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975.

8. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: Учеб.пособие. - М.: Наука, 1999.

Составители: Бондаренко Юлия Валентиновна,

Глушакова Татьяна Николаевна,

Тихомирова Екатерина Сергеевна

Рецензент Покорная И.Ю.

Редактор Тихомирова О.А.