§ 5. Пространства со скалярным произведением. Евклидовы пространства

Определение 1. В n-мерном линейном пространстве H над полем K определена операция скалярного умножения векторов, если задана функция , называемая скалярным произведением, ставящая в соответствие каждой паре векторов число , причем для любых и выполнены следующие аксиомы:

1. и ;

2. ;

3. ;

4. .

При K=R условие 4) выглядит следующим образом: .

Конечномерное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Каждое пространство H со скалярным произведением можно сделать нормированным, если положить .

Задача 1. Доказать, что отображение задает скалярное произведение в .

Решение.

Проверим выполнение аксиом скалярного произведения.

1. ; ;

2. ;

3. ;

4. .

Таким образом, задает скалярное произведение в .

Задача 2. Проверить, задает ли отображение скалярное произведение в , если .

Решение.

Проверим свойства скалярного произведения.

Рассмотрим . Проверим выполнение неравенства .

Рассмотрим : Так как , то функция не является скалярным произведением.

Задача 3. Пусть – различные комплексные числа. Докажите, что в линейном пространстве , где формула

, (*)

задает скалярное произведение. Верно ли это утверждение для ?

Решение.

Рассмотрим числа , и многочлены . Проверим аксиомы скалярного произведения для заданного :

1. .

Пусть . Тогда , т.е. . Так как , а любой многочлен степени n однозначно определяется своими значениями в n+1 точке, то ;

2. ;

3. 

.

Таким образом, при формула (*) задает скалярное произведение.

Пусть . Рассмотрим многочлен степени n, имеющий по основной теореме высшей алгебры n корней. Условие равносильно тому, что , где . Рассмотрим многочлен . Для данного многочлена выполнены условия: , однако . Следовательно, при формула (*) скалярное произведение не задает.

Определение 2. Углом между векторами и евклидова пространства H называется угол , определяемый соотношением:

, .

Задача 4. Определить угол между векторами и .

Решение.

В пространстве рассмотрим евклидову норму.

Тогда ,

, . Тогда , тогда .

Задача 5. Вычислить угол между функциями , из пространства , если скалярное произведение задается следующей формулой: .

Решение.

,

,

,

.

Определение 3. Два вектора называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно 0.

Определение 4. Система векторов называется ортогональной, если в ней все векторы попарно ортогональны.

Определение 5. Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональна и в ней все векторы нормированы, т.е. выполняются условия:

1. ;

2. .

Определение 6. Базис евклидова пространства H называется ортонормированным, если векторы образуют ортонормированное множество.

Переход от линейно независимых векторов к ортонормированному множеству осуществляется с помощью процесса ортогонализации Грама-Шмидта.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

Пусть – линейно независимые векторы из H. Тогда векторы , определенные следующими равенствами:

, ;

, ;

, ;

,

образуют ортонормированное множество в H. В частности, –ортонормированный базис в H, если H – конечномерно и – базис в H.

Задача 6. Применить процесс ортогонализации к системе векторов пространства : , , .

Решение.

Применим к линейно независимым векторам процесс ортогонализации Грама –Шмидта, считая, что :

;

;

;

;

.

Ортонормированная система векторов: , , .

Задача 7. Проверить, что векторы , образуют ортонормированное множество из , и дополнить его до ортонормированного базиса.

Решение.

Проверим, что множество – ортонормированное.

1. , ;

2. .

Векторы линейно независимы. Дополним до ортонормированного базиса. Для этого найдем вектор , ортогональный к векторам , т.е. удовлетворяющий системе:

.

Размерность пространства решений системы равна 1, фундаментальную систему решений и базис в пространстве решений образует вектор .

Пронормируем f, положив .

Векторы образуют ортонормированный базис в .

Задача 8. Найдите какой-нибудь ортонормированный базис в пространстве евклидова пространства .

Решение.

Найдем произвольный базис в пространстве M. Размерность пространства M равна 2 (dim M=2) и легко проверить, что векторы

,

образуют базис, ортогональны и – нормирован. Остается пронормировать вектор . Положим:

, .

Векторы – ортонормированный базис в M.

Задача 9. Построить ортонормированный базис подпространства, натянутого на систему векторов ; ; .

Решение.

Найдем базис в линейной оболочке векторов .

Векторы – линейно независимы, вектор . Следовательно, образуют базис в и .

Применим к базисным векторам процесс ортогонализации Грама-Шмидта:

;

= ;

.

Векторы – ортонормированный базис в .

Определение 7. Пусть M – подпространство из H. Вектор x называется перпендикулярным (ортогональным) подпространству M, если , .

Ортогональным дополнением подпространства M пространства H называется совокупность всех векторов из H, каждый из которых ортогонален M.

Для подпространства M евклидова пространства H ортогональное дополнение также является подпространством в H, причем .

Задача 10. Найдите ортонормированный базис в ортогональном дополнении к подпространству M евклидова пространства , которое является линейной оболочкой векторов , .

Решение.

Векторы линейно независимы и образуют базис в M.

Найдем какой-либо базис в . Для этого дополним систему векторов до базиса в линейно независимыми векторами a,b (dim =4-2=2 ) такими, чтобы выполнялись равенства:

, ,

т.е. a,b – базис в пространстве решений системы однородных уравнений:

.

Фундаментальной системой решений и базисом в являются векторы , .

Векторы a,b являются ортогональными, так как . Поэтому для получения ортонормированного базиса остается только пронормировать a,b:

, .

Векторы образуют ортонормированный базис в .

Задача 11. Найти ортонормированный базис ортогонального дополнения подпространства М, натянутого на векторы:

, , .

Решение.

Найдем базис в подпространстве M.

Составим матрицу .

Ранг матрицы A равен 2, базис образуют векторы .

Так как dim =dim - dim M = 4-2=2, то найдем линейно независимые , принадлежащие , т.е. удовлетворяющие условию: , , . Задача сводится к нахождению фундаментальной системы решений для системы:

.

Общим решением системы является:

.

Фундаментальная система решений:

, .

Векторы – ортогональны. Пронормируем их:

, .

Векторы образуют ортонормированный базис в .

Определение 8. Пусть M – подпространство из H. Вектор a называется ортогональной проекцией вектора на M, если вектор x-a перпендикулярен M.

Теорема. Пусть M – конечномерное подпространство из H и - ортонормированный базис в M. Тогда для любого вектора вектор

является единственной ортогональной проекцией вектора x на M.

Задача 12. Найти ортогональную проекцию вектора на линейное подпространство L, натянутое на векторы: , , .

Решение.

1. Найдем ортонормированный базис в пространстве . Векторы линейно независимы, а вектор , следовательно, – базис в . Применяя к данным векторам процесс ортогонализации, найдем ортонормированный базис:

, .

2. Найдем проекцию вектора x :

= .

Таким образом, .

Укажем другой способ решения задачи 12.

Решение.

1. Выясним, являются ли векторы , , линейно независимыми:

.

Таким образом, из трех векторов два, например , являются линейно независимыми. Их мы и возьмем в качестве базиса в подпространстве .

2) Разложим вектор по векторам : , где , .

Так как , то , где и – некоторые константы, которые будут найдены в дальнейшем.

Так как , то .

Из следует, что , поэтому

.

Таким образом,

.

Тогда

.

Задача 13. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на линейное подпространство , где , задано системой уравнений:

.

Решение.

Найдем базис в подпространстве , который образует фундаментальная система решений системы уравнений

, описывающей линейное подпространство:

.

Составим таблицу значений переменных

0	-1	1	0
-5	7	0	1

Таким образом, фундаментальную систему решений (базис в подпространстве ) составляют векторы , .

Далее задача решается аналогично задаче 12.

Определение 9. Величина , где a – проекция вектора x на подпространство M, называется расстоянием от вектора x до подпространства M.

Задача 14. Найти расстояние от вектора x до подпространства из задачи 12.

Решение. Найдем . Следовательно, расстояние от вектора x до подпространства равно .

Задача 15. Найти расстояние от точки , заданной вектором , до линейного многообразия, заданного системой уравнений:

.

Решение.

Обозначим через – заданное линейное многообразие, – линейное подпространство, соответствующее данному многообразию, – некоторая точка линейного многообразия, – задающий ее вектор, – расстояние от точки до линейного многообразия.

1. Построим базис линейного подпространства . Для этого найдем фундаментальную систему решений для системы уравнений .

. Составим таблицу значений переменных

0	1	2	0
-1	1	0	2

Таким образом, базис в подпространстве образуют векторы , .

Так как , то (коэффициенты и будут найдены ниже) и .

2. Возьмем произвольную точку линейного многообразия . Положим для простоты , тогда координаты точки удовлетворяют системе , откуда . Таким образом, и, следовательно, .

3. Положим =(4,2,-5,1)-(0,0,-3,6)=(4,2,-2,-5). Пусть , где , .

Так как , то (коэффициенты и будут найдены ниже) и .

Так как , то , откуда следует, что .

Таким образом, и, следовательно, , то есть расстояние от точки до многообразия равно 5.