Упражнения к § 2

1. Доказать, что все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координаты равны между собой, образуют линейное подпространство. Найти его базис и размерность.

2. Доказать, что все n-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой, образуют линейное подпространство. Найти его базис и размерность.

3. Доказать, что все симметрические матрицы образуют линейное подпространство пространства всех квадратных матриц порядка n. Найти его размерность и базис.

4. Доказать, что линейное пространство есть прямая сумма двух линейных подпространств: , .

5. Доказать, что пространство всех квадратных матриц есть прямая сумма пространств симметрических матриц и кососимметрических матриц.

6. Доказать, что решения любой системы однородных линейных уравнений с n неизвестными ранга r образуют линейное подпространство n- мерного пространства размерности n-r.

§ 3. Определители и линейная независимость векторов

Пусть X – конечномерное линейное пространство и – система векторов из X.

Определение 1. Векторы , называются базисными для системы векторов , если они линейно независимы и каждый из векторов является их линейной комбинацией.

Число базисных векторов называется рангом системы векторов . Базисные векторы образуют базис в линейной оболочке векторов , т.е. в подпространстве .

Для того чтобы векторы ( ) образовывали базис в , необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был отличен от нуля.

Столбцы матрицы A, на которых расположен базисный минор матрицы A, являются базисными векторами для системы векторов .

Задача 1. Найти базисные векторы в системе векторов , , , .

Решение.

Составим матрицу из координат векторов .

Найдем какой-либо базисный минор матрицы A.

Рассмотрим ; .

Следовательно, rang(A)=3. Так как базисный минор расположен на векторах , то данные векторы являются базисными векторами системы .

Упражнения к § 3

1. Найти размерность и базис линейных подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

1. =(1, 0, 0, -1), =(2, 1, 1, 0), =(1, 1, 1, 1), =(1, 2, 3, 4),

=(0, 1, 2, 3);

2. =(1, 2, 3), =(4, 5, 6), =(7, 8, 9), = (10, 11, 12).

§ 4. Линейные нормированные пространства

Определение 1. Линейное пространство над полем K (K=R или K=C) называется нормированным, если задана функция , обозначаемая и удовлетворяющая следующим условиям:

1. , ;

2. ;

3. ;

для любых векторов и любого числа .

Величина называется нормой вектора x.

Задача 1. Доказать, что линейное пространство , где K=R или K=C является нормированным, если в качестве нормы выбрана одна из следующих функций:

1. (октаэдрическая норма);

2. (кубическая норма)

3. (евклидова норма),

где .

Решение.

1. Докажем, что для выполняются аксиомы нормы.

1. Так как для любого , то .Условие равносильно , а так как , то равенство нулю суммы возможно лишь тогда и только тогда, когда , , т.е. .

2. .

3. , а так как по свойству модуля , то .

Таким образом, является нормой в .

II. Докажем, что является нормой в .

1. Так как , то . Условие равносильно , а так как, с другой стороны, , то получаем: .

2. .

3. . Так как , то . Так как , то . Аналогично, , . Следовательно, .

Таким образом, является нормой в .

Аналогично проверяется (доказательство проведите самостоятельно), что является также нормой в пространстве .

Задача 2.Докажите неравенство .

Решение.

1) , следовательно, ;

2) , следовательно, , а так как , то последнее неравенство преобразуется к виду: .

Из пунктов 1) и 2) следует, что .