§ 2. Линейные подпространства. Прямая сумма подпространств. Произведение пространств

Определение 1. Подмножество M из линейного пространства X над полем K называется линейным подпространством, если :

1) ;

2. 

для любых , .

Каждое подпространство является самостоятельным линейным пространством.

Задача 1. Доказать, что линейная оболочка, натянутая на систему векторов из пространства X: , является линейным подпространством пространства X.

Решение.

Проверим свойства линейного подпространства. Рассмотрим элементы и .

Так как , то , , где .

Тогда , где . Таким образом, .

Аналогично .

Таким образом, доказано, что данное множество является линейным подпространством.

Задача 2. Докажите, что n-мерные векторы пространства , у которых координаты с четными номерами равны 0, образуют линейное подпространство M. Найти его размерность и базис.

Решение.

Пусть .

1. Докажем, что M – подпространство:

1. Рассмотрим векторы , . Тогда , где .

2. Рассмотрим .

Тогда .

Таким образом, что M – подпространство.

2. Найдем базис и размерность в подпространстве M.

Рассмотрим векторы подпространства M: , , , где вектор имеет 1 на (2k-1) - ом месте, а остальные координаты равны 0.

Если n – четное, то в пространстве число таких векторов ; если n – нечетное, то . Объединив эти два случая, получим, что число векторов .

Докажем, что образуют базис.

1. Проверим линейную независимость .

Составим линейную комбинацию:

.

2. Для любого справедливо: .

Таким образом, доказано, что – базис в линейном подпространстве M и .

Задача 3. Доказать, что все n-мерные векторы вида , где a, b – любые числа поля K образуют линейное подпространство M. Найти его размерность и базис.

Решение.

1. Докажем, что множество является линейным подпространством.

Рассмотрим векторы , . Тогда , где , .

.

Таким образом, M – линейное подпространство.

2. Найдем базис и размерность M.

Рассмотрим векторы , . Векторы линейно независимы (доказать самостоятельно) и для любого вектора пространства M справедливо: . Таким образом, – базис в подпространстве M и dim M=2.

Задача 4. Проверить, является ли подмножество M пространства непрерывных на отрезке функций линейным подпространством, если .

Решение.

Рассмотрим . Тогда , . Так как сумма двух непрерывных функций является непрерывной функцией, то нам остается проверить выполнение равенства:

.

Рассмотрим . Таким образом, M не является линейным пространством.

Задача 5. Найти размерность подпространства .

Решение.

Рассмотрим многочлен : . Пусть , тогда , то есть . Рассмотрим многочлены: , , , . Данная система многочленов линейно независима, так как включает многочлены разной степени и для любого многочлена подпространства M справедливо: . Таким образом, образует базис в M и dim M =n.

Задача 6. Найдите размерность подпространства

.

Решение.

Рассмотрим многочлен : . Пусть , тогда , . Тогда и многочлен имеет вид:

.

Рассмотрим следующие многочлены:

, , , .

Данная система многочленов линейно независима, так как включает многочлены разной степени, и для любого многочлена пространства M справедливо: . Таким образом, образует базис в M и dim M =n-1.

Задача 7. Рассмотрите подпространство

и докажите, что его размерность равна 2.

Решение.

Рассмотрим вектор . Тогда и имеет вид: .

Рассмотрим векторы , . Легко проверить, что векторы – линейно независимы и для любого справедливо: . Таким образом, – базис подпространства M и dim M = 2.

Задача 9. Докажите, что кососимметрические матрицы образуют линейное подпространство M пространства всех квадратных матриц порядка n над полем R. Найти базис и размерность этого подпространства.

Решение.

Матрица называется кососимметрической, если .

Непосредственно из определения следует, что , т.е. матрица имеет вид: .

1. Докажем, что M – линейное подпространство. Рассмотрим кососимметрические матрицы , . Согласно определению, , , .

Рассмотрим матрицу . Элементы . Следовательно, - кососимметрическая матрица.

Рассмотрим матрицу , где и .Элементы , т.е. , и следовательно, M – линейное подпространство. Рассмотрим матрицы подпространства M: , , , где - матрица, у которой элемент равен 1, элемент равен –1, а остальные элементы – нули. Число таких матриц равно числу наддиагональных элементов матрицы размерности : .

Очевидно, что матрицы линейно независимы и любая кососимметрическая матрица представима в виде их линейной комбинации:

.

Следовательно, образуют базис в подпространстве M и

.

Определение 2. Линейное пространство X является прямой суммой своих подпространств и , если каждый вектор из X единственным образом можно представить в виде: , где . Используется обозначение .

Задача 10. Докажите, что есть прямая сумма подпространства и подпространства постоянных функций .

Решение.

Рассмотрим функцию . Тогда справедливо представление: , где ­– константа, а функция . Следовательно, любой элемент можно представить в виде суммы элементов подпространств и . Докажем, что такое представление единственно.

Пусть , где , .

Предположим противное: существуют , ( или (и) ) такие, что . Тогда , . Рассмотрим . Так как , то . Таким образом, , . Тогда , и, следовательно, , что противоречит предположению.

Таким образом, .

Задача 11. Доказать, что пространство всех квадратных матриц порядка есть прямая сумма линейных подпространств – симметрических матриц и – кососимметрических матриц.

Решение.

Пусть – произвольная квадратная матрица. Покажем , что ее можно единственным образом представить в виде , где и – симметрическая и кососимметрическая матрицы соответственно.

Так как , то , откуда . Сложим первое и второе уравнения системы, получим , откуда . Очевидно, что , то есть матрица – симметрическая.

Вычтем теперь из первого уравнения системы второе. Получим , откуда . Очевидно, что , то есть матрица – кососимметрическая.

Таким образом, произвольную квадратную матрицу разложили на сумму симметрической и кососимметрической матриц, элементы которых определяются единственным образом, то есть пространство всех квадратных матриц порядка есть прямая сумма линейных подпространств – симметрических матриц и – кососимметрических матриц.

Определение 3. Пусть – совокупность линейных пространств, рассматриваемых над одним и тем же полем K. Их произведение является линейным пространством, если для любой пары элементов , из X и числа положить: , .

Задача 12. Найдите размерность произведения линейных пространств , .

Решение.

Рассмотрим линейное пространство .

Пусть и – базис в ; и – базис в . Рассмотрим векторы пространства X вида: , , , , . Докажем, что образуют базис в X.

Проверим линейную независимость системы векторов:

, что в силу линейной независимости векторов и эквивалентно тому, что . Таким образом, система векторов линейно независима.

Рассмотрим вектор , : , . Тогда . Следовательно, – базис в X и .