Иначе – находим произвольный вектор , для которого не существует такое, что выполняется равенство (*), то есть:

, .

Полагаем . Отметим, что векторы – линейно независимы в силу нарушения (*).

3. Если для любого вектора существуют такие, что:

, (**)

то останов, dim X=2; – базис в X.

Иначе – находим вектор , для которого не выполнено равенство (**): , .

Полагаем ; – линейно независимые векторы.

Продолжая данный процесс для конечномерного линейного пространства, через конечное число шагов алгоритма будет найден базис в пространстве X.

Задача 12. Систему многочленов , , , дополните до базиса пространства .

Решение.

Так как размерность пространства многочленов степени не выше 5 : равна 6, то необходимо найти многочлены , являющиеся линейно независимыми как между собой, так и с многочленами .

Найдем произвольный многочлен , являющийся линейно независимым с системой . Очевидно, что в качестве такого многочлена можно выбрать .

Для нахождения последнего многочлена базиса воспользуемся алгоритмом 1, т.е. найдем многочлен , являющийся линейно независимым с системой , т.е. для которого не существуют числа такие, что выполняется равенство:

Неизвестными системы являются ; - параметры системы. Система не имеет решения, например, для следующих значений параметров: . Тогда в качестве базисного многочлена выберем .

Система многочленов линейно независима и образует базис в пространстве .

Упражнения к § 1

1. Доказать, что множество всех функций со значениями в данном поле K, определенные на множестве из n элементов, составляют n-мерное векторное пространство над полем K по отношению к действиям сложения функций и умножения на константу поля K.

2. В множестве положительных действительных чисел определены операции:

1. «сложения» ;

2. «умножения на действительное число» .

Проверить, что множество с указанными операциями образует линейное пространство.

3. Будет ли множество всех многочленов , удовлетворяющих следующим условиям, линейным пространством относительно обычных операций сложения и умножения на число:

1. f(0)=1; f(1)=0;

2. 2f(0)-3f(1)=0.

4. Пусть – множество всех упорядоченных пар действительных чисел с операциями:

1. ;

2. .

Будет ли действительным линейным пространством?

5. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

6. Выяснить, являются ли следующие системы векторов арифметических пространств линейно зависимыми:

1. (-3, 1, 5); = (6, -2, 15);

2. (1, 2, 3); =(2, 5, 7); =(3, 7, 11);

3. =(2, -3, 1); =(3, -1, 5); =(1, -4, 3).

7. Найти все значения параметра , при которых вектор b линейно выражается через векторы , :

1. =(3, 4, 2); =(6, 7, 8); b=(9, 12, );

2. =(3, 2, 5); =(2, 4, 7); =(5, 7, ); b=(1, 3, 5).

8. Являются ли многочлены линейно независимыми: , , ?

9. Векторы и x заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что сами образуют базис и найти координаты вектора x в этом базисе:

1. =(2, 1, -3), =(3, 2, -5), =(1, -1, 1), x=(6, 2, -7);

2. = (1, 2, -1, -2); =(2, 3, 0, -1); =(1, 2, 1, 4);

=(1, 3, -1, 0); x=(7, 14, -1, 2);

3. =(2, 2, -1), =(2, -1, 2), =(-1, 2, 2), x=(1, 1, 1);

4) =(1, 5, 3), =(2, 7, 3), =(3, 9, 4), x=(2, 1, 1).

10. Систему векторов =(1, 2, -1); =(2, 1, 0) дополните до базиса в пространстве .

11. Показать, что следующие системы векторов являются базисами пространства :

1. = (1, 2, 3, …, n); = (0, 2, 3, …, n); = (0, 0, 3, …, n); …;

=(0, 0, 0, …, n);

2. = (1, 1, …, 1, 1, 1); =(1, 1, …, 1, 1, 0);

=(1, 1, …, 1, 0, 0); =(1, 0, …, 0, 0, 0).

12. Проверить, какая из следующих систем векторов является базисом пространства :

1. =(1, 2, -1, -2), =(2, 3, 0, -1), =(1, 2, 1, 3),

=(1, 3, -1, 0);

2. =(1, 2, -1, -2), =(2, 3, 0, -1), =(1, 2, 1, 4),

=(1, 3, -1, 0).

13. Найти координаты многочлена в каждом из следующих базисов пространства :

1. 1, t+1, , , , ;

2. , , , , , .