Базис. Размерность линейного пространства Определение 5. Всякую систему векторов линейного пространства X называют базисом, или базой, этого пространства, если:
система векторов линейно независима;
любой вектор x пространства X линейно выражается через векторы этой системы:
.
(4)
Числа
называются координатами вектора x
относительно базиса
.
Число n
базисных векторов в пространстве X
называется размерностью пространства
и обозначается символом dim
X.
Задача
8. Доказать,
что векторы вида:
,
,
,
образуют базис в пространстве
.
Решение.
Докажем линейную независимость векторов .
Рассмотрим линейную комбинацию:
,
т.е. линейно независимы.
Покажем, что для любого вектора
справедливо представление (4).
Пусть
.
Тогда
,
т.е. коэффициенты
равенства (4) в данном примере совпадают
с
.
Таким образом, исходная система векторов является базисом в пространстве и dim =n.
Аналогично можно доказать следующие утверждения:
Многочлены
,
,
,
образуют базис в линейном пространстве
,
где K=R
или K=C;
.В линейном пространстве матриц размерности базисом являются матрицы
,
,
,
где
– матрица, на пересечении i-ой
строки которой и j-го
столбца стоит единица, а остальные
элементы – нули.
Рассмотренные в примерах базисы называются стандартными. Если – базис в линейном пространстве X, то любые n линейно независимых векторов также образуют базис в X.
Таким образом, если известно, что размерность пространства равна n, то для доказательства того факта, что система векторов является базисом, необходимо и достаточно доказать, что векторы системы линейно независимы.
Задача
9. В
пространстве
заданы векторы
,
,
,
.
Показать, что векторы
образуют базис и найти координаты
вектора x
в этом базисе.
Решение.
Докажем, что – базис в пространстве . Так как dim =3, то нам достаточно проверить линейную независимость векторов. Составим линейную комбинацию :
Определитель
матрицы полученной системы
.
Следовательно, система имеет только
нулевое решение
и векторы
линейно независимы.
2.
Для нахождения координат вектора x
в базисе
составим равенство:
.
Переходя к покоординатным равенствам
и решая полученную систему, находим,
что
,
,
.
Таким образом, в базисе
вектор
.
Задача 10. Пусть X – линейное пространство размерности n и – векторы из X такие, что каждый вектор из X является их линейной комбинацией. Докажите, что эти векторы образуют базис в X.
Решение.
Так
как свойство 2) определения базиса
выполнено по условию задачи, остается
доказать линейную независимость векторов
,
где n=dimX.
Предположим
противное. Пусть
– линейно зависимая система векторов.
Выберем в M
максимальную независимую подсистему
векторов
,
k<n.
Напомним, что конечная подсистема данной
системы векторов называется максимальной
линейно независимой,
если сама подсистема векторов линейно
независимая, а добавление к ней хотя бы
одного вектора системы делают ее линейно
зависимой. Каждый вектор системы линейно
выражается через векторы ее максимальной
независимой подсистемы, то есть,
для любого
,
.
Тогда для любого вектора x
из линейного пространства X
справедливо:
.
Таким
образом, векторы
линейно независимы и любой элемент
линейного пространства X
представим в виде их линейной комбинации,
т.е.
,
что противоречит тому, что dim
X=n.
Задача
11. Докажите,
что для любого комплексного числа a
многочлены
,
,
,
…,
образуют базис в линейном пространстве
.
Найти координаты произвольного многочлена
в этом базисе.
Решение.
Линейная
независимость многочленов разной
степени
следует из решения задачи 6. Докажем,
что произвольный многочлен пространства
является линейной комбинацией данных
векторов.
Рассмотрим
произвольный многочлен
.
Так как любой многочлен для любого
может быть единственным образом
представлен в виде:
,
то для любого
справедливо разложение по данной системе
многочленов:
.
Числа
являются координатами многочлена f
в базисе
.
Пусть
X
– произвольное линейное пространство.
Для нахождения базиса
в пространстве X
можно
воспользоваться следующим алгоритмом.
Алгоритм 1 ( нахождение базиса в линейном пространстве).
Выбираем произвольный вектор
в пространстве X.Если для любого вектора существует такое, что справедливо представление:
,
(*)
то
останов. Размерность пространства X:
dim
X
=1,
–
базис в X.