39

Линейные пространства

§ 1. Линейные пространства. Базисы

1. Определение линейного пространства

Рассмотрим некоторое поле K и множество X.

Определение 1. Множество X называется линейным пространством над полем К, если:

I. В множестве X определены операции:

1. Cложения (внутренний закон композиции) , ставящая в соответствии любым двум элементам вектор , причем выполняются следующие аксиомы:

1. cложение коммутативно, т.е. для любых ;

2. cложение ассоциативно, т.е. для любых ;

3. в множестве X существует нулевой элемент 0 такой, что при любом x из X;

4. в множестве X для любого элемента x существует противоположный элемент –x такой, что ;

2. Умножения элементов множества X на числа поля K (внешний закон композиции) , ставящая в соответствие любым элементам , вектор , причем выполняются следующие аксиомы:

5. при любом и любых ;

6. при любом .

II. Для операций сложения и умножения выполняются условия дистрибутивности:

7) При любом и любых ;

8. (x+y)= x+y при любых x,y из X и любом .

Отметим, что свойства 1)-4) означают, что X – абелева группа (с аддитивной формой записи операции).

Если K=R, то линейное пространство X над полем R называется вещественным линейным пространством. Линейное пространство X над полем C называется комплексным линейным пространством.

Задача 1. Доказать, что множество упорядоченных наборов из n чисел поля K: образует линейное пространство над полем K, если положить: ,

для любых , .

Решение.

Для множества проверим выполнение свойств линейного пространства.

В силу коммутативности и ассоциативности чисел поля K, которому принадлежат координаты вектора x, для элементов выполняются свойства 1) и 2), т.е.:

;

=

.

Нулевым элементом в является вектор 0=(0,0,…,0). Тогда , т.е. выполнено свойство 3).

Элементом, противоположным элементу , служит . Тогда по свойству элементов поля K выполнено свойство 4), т.е. .

Аналогично проверяются свойства 5)-8) линейного пространства.

Задача 2. Доказать, что множество не образует линейное пространство над полем K, если заданы следующие операции: , для любых , .

Решение. Докажем, что для множества с введенными операциями не выполнено свойство 7) линейного пространства, т.Е. .

Рассмотрим , = .

Так как , , то свойство 7) линейных пространств в данном примере не выполнено.

Примерами линейных пространств являются:

1. Множество всех функций действительного переменного, определенных и непрерывных на отрезке , с обычными правилами сложения функций и умножения их на действительные числа.

2. Множество многочленов степени не выше n с коэффициентами из поля K с обычными операциями сложения многочленов и умножения на числа поля K.

3. Множество прямоугольных матриц размерности с элементами из поля K с обычными операциями сложения матриц и умножения их на числа поля K.

4. Множество всех векторов-решений линейной однородной системы уравнений с коэффициентами поля K относительно сложения векторов-решений и умножения их на числа поля K.