Устранение правой рекурсии

Правило А называется рекурсивным, если существует вывод *А . Если  и =, то правило А называется праворекурсивным. Правило называется самоправорекурсивным, если его самый правый символ нетерминал и он совпадает с левой частью. Самоправорекурсивное правило также является и праворекурсивным.

1. Исключение самоправорекурсивных правил.

Предположим, что нетерминал А имеет m самоправорекурсивных правил А _i А, где 1im, и n правил А _j , где 1jn, которые не являются самоправорекурсивными и других правил с левой частью А нет. Эти правила заменяются следующими:

АВ _j, где 1jn, В – новый нетерминал,

ВВ _i, где 1im,

В

2. Исключение праворекурсивных правил.

Алгоритм исключения праворекурсивных правил.

1. Обозначить нетерминалы грамматики А₁, А₂,…,А_n, где n – количество нетерминалов.

2. Для каждого нетерминала грамматики А_i, где 1in, выполнить п.3 и 4.

3. Для каждого правила вида А_iА_j, где 1ji-1, выполнить замену нетерминала А_j (новые правила необходимо учитывать при выполнении п.3).

4. Исключить самоправорекурсивные правила для нетерминала А_i (новые нетерминалы далее не рассматривать).

Алгоритм применим, если грамматика не имеет циклов (цепных правил) и -правил. Цепные правила и -правила могут быть удалены предварительно. Получающаяся грамматика без правой рекурсии может иметь -правила.

Пример.

Устранить правую рекурсию в грамматике:

А₁аА₃А₁

А₁bА₂

А₂cА₁

А₂aА₃

А₃bА₁

А₃c

Рассматриваем нетерминал А₁.

Правил вида А₁А₀ в грамматике нет, т.к. нет нетерминала А₀, поэтому замену нетерминала А₁ (п.3) не выполняем.

Исключаем самоправорекурсивное правило А₁аА₃А₁ , получаем грамматику:

А₁ В₁bА₂

А₂cА₁

А₂aА₃

А₃bА₁

А₃c

B₁В₁аА₃

B₁

Рассматриваем нетерминал А₂.

Выполняем замену нетерминала А₁ в правиле А₂сА₁ , получаем грамматику:

А₁ В₁bА₂

А₂cВ₁bА₂

А₂aА₃

А₃bА₁

А₃c

B₁В₁аА₃

B₁

Исключаем самоправорекурсивное правило А₂cВ₁bА₂ , получаем грамматику:

А₁ В₁bА₂

А₂ В₂aА₃

А₃bА₁

А₃c

B₁В₁аА₃

B₁

B₂В₂cВ₁b

B₂

Рассматриваем нетерминал А₃.

Выполняем замену нетерминала А₁ в правиле А₃bА₁ , получаем грамматику:

А₁ В₁bА₂

А₂ В₂aА₃

А₃bВ₁bА₂

А₃c

B₁В₁аА₃

B₁

B₂В₂cВ₁b

B₂

Выполняем замену нетерминала А₂ в правиле А₃bВ₁bА₂ , получаем грамматику:

А₁ В₁bА₂

А₂ В₂aА₃

А₃bВ₁bВ₂aА₃

А₃c

B₁В₁аА₃

B₁

B₂В₂cВ₁b

B₂

Исключаем самоправорекурсивное правило А₃bВ₁bВ₂aА₃, получаем грамматику:

А₁ В₁bА₂

А₂ В₂aА₃

А₃B₃c

B₁В₁аА₃

B₁

B₂В₂cВ₁b

B₂

B₃В₃bВ₁bВ₂a

B₃

Грамматика без праворекурсивных правил получена. Далее можем выполнить две одиночные замены и получим грамматику:

А₁ В₁bВ₂aB₃c

B₁В₁аB₃c

B₁

B₂В₂cВ₁b

B₂

B₃В₃bВ₁bВ₂a

B₃

Нормальная форма Хомского

Любой КС язык может быть задан КС-грамматикой в нормальной форме Хомского (НФХ), а любую КС-грамматику можно преобразовать в эквивалентную ей грамматику в НФХ.

Грамматика в НФХ содержит только правила трёх видов:

1) АВС , где А, В, С – нетерминалы;

2) Аt , где t – терминал;

3) S , если пустая цепочка принадлежит языку, причём начальный нетерминал S не встречается в правых частях правил.

Другими словами, это грамматика без -правил, а правые части правил содержат либо два нетерминала, либо один терминал.

Для преобразования произвольной грамматики в НФХ предварительно нужно устранить лишние символы, -правила и цепные правила, т.е. привести грамматику.

Алгоритм преобразования приведённой грамматики в НФХ.

1. Для каждого правила вида АХ, где А – нетерминал, Х – терминал или нетерминал,  - цепочка терминалов или нетерминалов, содержащая более одного символа, выполнить следующее преобразование:

если в грамматике есть одиночное правило С, то

правило АХ заменить на АХС, иначе ввести

правило N , где N – новый нетерминал, и правило

АХ заменить на АХN .

При выполнении п.1 учитывать вводимые правила.

В результате выполнения п.1 получим грамматику, правые части правил котрой содержат не более двух символов.

2. Для каждого правила вида АtB, где А, B – нетерминалы, t – терминал, выполнить следующее преобразование:

если в грамматике есть одиночное правило Сt, то

правило АtB заменить на АСB, иначе ввести

правило Nt , где N – новый нетерминал, и правило

АtB заменить на АNB .

3. Для каждого правила вида АBt, где А, B – нетерминалы, t – терминал, выполнить следующее преобразование:

если в грамматике есть одиночное правило Сt, то

правило АBt заменить на АBС, иначе ввести

правило Nt , где N – новый нетерминал, и правило

АBt заменить на АBN .

Пример.

Преобразовать заданную грамматику в НФХ.

Исходная грамматика	Пункт 1 алгоритма		Пункты 2 и 3 алгоритма
АaBCd	АaN1	АaN1	А N2N1
АCd	N1BCd	N1BA	N2a
BaB	АCd	АCd	N1BA
Bb	BaB	BaB	АCN3
CABA	Bb	Bb	N3d
	CABA	CAN1	B N2B
			Bb
			CAN1