2. Регрессионная модель. Общие положения

По виду аналитической зависимости объясняемой переменной от объясняющих переменных регрессионную модель подразделяют на линейную и нелинейную. В большинстве случаев строят линейные модели, так как они кроме простоты имеют два положительных качества:

1) если многомерная случайная величина (X,Y), где X – вектор, имеет совместное нормальное распределение, то уравнение регрессии будет линейным, например:

, если x – одномерная случайная величина.

Предположение о нормальности распределения вполне естественно и может быть обоснованно с помощью предельных теорем теории вероятности.

В некоторых случаях величины X и Y могут не иметь нормального распределе­ния (X может быть вообще детерминированным), но некоторые функции от них могут быть распределены нормально.

2) меньший риск значительной ошибки, так как линейная функция имеет постоянную производную и не претерпевает значительных изменений при изменении аргументов.

Модели, нелинейные по объясняющим переменным, можно свести к линейным путём переименования переменных. При этом в модели за новую переменную берётся интересующая нас экономическая переменная с примененным к ней нелинейным оператором. Так, для модели

Можно принять и получить

Отметим, что содержательная интерпретация результатов при такой замене пе­ременных затрудняется.

Модели, нелинейные по параметрам, подразделяются на:

– внутренне линейные (линеаризуемые)

– внутренне нелинейные (нелинеаризуемые)

Первые могут быть приведены к линейному виду путём соответствующих ма­тематических преобразований, например:

Для оценки параметров внутренне нелинейной модели (5 этап) используют специальные итерационные процедуры. Такие модели достаточно редки и экзо­тичны, и мы в дальнейшем их рассматривать не будем.

Уравнения регрессии и некоторые тождества, связывающие объясняющие и объясняемые переменные, могут составлять так называемые системы одновременных уравнений. Тождества не содержат параметров, подлежащих оцениванию, и не вклю­чают случайные составляющие. Каждое уравнение такой системы, кроме своих объяс­няющих переменных может включать объясняемые переменные из других уравнений, в том числе их лаговые значения.

Таким образом, эконометрическая модель на основе системы одновременных уравнений позволяет объяснить поведение эндогенных переменных в зависимости от экзогенных переменных и лаговых значений эндогенных переменных, то есть в зависимости от предопределённых (заранее определённых) переменных.

Построение и исследование регрессионной модели называют регрессионным анализом. Задачей регрессионного анализа является установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии и отыскание прогнозных значений зависимых переменных.

3. Парная линейная регрессия

3.1. Вид уравнения и предпосылки для регрессионного анализа

Парная линейная регрессия описывается уравнением:

Для получения оценки параметров линейной функции регрессии взята выборка, состоящая из векторных переменных (x_i, y_i).

Оценкой записанной выше модели является уравнение где

Классический подход к оцениванию параметров α и β основан на классическом (обычном или традиционном) методе наименьших квадратов (МНК).

Чтобы регрессионный анализ давал достоверные результаты необходимо выполнить 4 условия Га­усса– Маркова:

1.M(ε_i) = 0 – остатки имеют нулевое среднее для всех i = 1,…, n.

2. D(ε_i) = σ² = const для всех i = 1,…, n – гомоскедастичность остатков, то есть их равноизменчивость.

– отсутствие автокорреляции в остатках.

4. Объясняющая переменная X детерминирована, а объясняемая переменная Y – случайная величина и остатки не коррелируют с X:

Объясняющая переменная в том случае, когда она стоит в уравнении регрессии, может называться регрессором.

Наряду с этими четырьмя условиями Гаусса – Маркова применяют 5-е условие: остатки должны быть распределены нормально; это условие необходимо для обеспе­чения правильного оценивания значимости уравнения регрессии и его параметров.

Наилучшие оценки называют BLUE – оценками (Best Linear Unbiased Estima­tors).

Они обладают следующими свойствами:

1. Это оценки несмещённые:

3. Оценки эффективны, то есть имеют наименьшие дисперсии среди всех воз­можных оценок.

Если нарушаются 2-е и/или 3-е условия Гаусса – Маркова, то оценки не теряют свойства 1и 2, а свойство 3 (эффективность) теряют; дисперсии становятся смещёнными.