11.5. Геометрические структуры Койка

В модели Койка предполагается, что в уравнении регрессии имеет место бесконечный лаг, но коэффициенты при лаговых переменных убывают в геометрической прогрессии, отсюда название – геометрическая структура Койка.

Последнее уравнение справедливо для всякого момента времени, в том числе и для момента ; поэтому можно записать:

.

Умножим последнее уравнение на и вычтем из предыдущего:

Краткосрочный мультипликатор рассчитывается как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

.

Если считать, что объясняющая переменная стремится к равновесию , то значения и будут также стремиться к своему равновесному значению :

Здесь возможны следующие проблемы:

В уравнении регрессии регрессор в принципе носит случайный характер, так как содержит остаток , а значит, нарушается одна из предпосылок МНК. Для случайных остатков будет иметь место автокорреляция. Если учесть случайный характер регрессора и автокорреляция в остатках выражена достаточно сильно, то оценки параметров, полученные с помощью классического МНК, могут оказаться несостоятельными и смещенными.

Средний и медианный лаги модели Койка вычисляются таким образом:

Видно, что если то . При ; при . Величину объясняют как скорость, с которой происходит во времени адаптация объясняемой переменной к изменению объясняющей переменной .

11.6. Оценка параметров авторегрессионных моделей первого порядка (ar(1)–моделей)

Такая модель выглядит следующим образом: .

Авторегрессионная модель довольно часто используется в эконометрических исследованиях, но при их построении возникает 2 проблемы:

Первая проблема касается выбора метода оценки параметров: так как в правой части регрессионного уравнения присутствует лаговая переменная , то тем самым нарушается предпосылка МНК о делении переменных на стохастическую объясняемую переменную и детерминированную объясняющую переменную;

Вторая проблема состоит в том, что регрессор явным образом коррелирует с остатком и тем самым нарушается 4–е условие Гаусса-Маркова. Поэтому применение классического МНК для оценки параметров этой модели приводит к получению смещенной оценки коэффициента c₁.

Популярным методом расчета параметров AR– модели является метод инструментальных переменных (ИП). Суть этого метода заключается в следующем: та переменная в правой части AR–модели, для которой нарушается предпосылка МНК, заменяется на другую переменную, которая эту предпосылку не нарушает. Применительно к модели заменить на инструментальную переменную следует лаговую переменную . Эта переменная должна обладать двумя свойствами:

1) сильно коррелировать с ,

2) быть детерминированной и не коррелировать с остатком .

Рассмотрим два способа получения инструментальной переменной:

Способ 1. Так как в модели переменная зависит не только от , но и от фактора , то можно построить модель с одним регрессором и теоретическое значение , полученное с помощью такой модели, можно использовать в качестве инструментальной переменной.

Параметры в последнем уравнении можно найти с помощью классического МНК. Здесь оценка тесно коррелирует с наблюдаемой переменной и является линейной функцией от фактора , для которого 4–е условие Гаусса–Маркова не нарушается. Следовательно, ИП также не будет коррелировать с остатком . Таким образом, оценки параметров уравнения можно найти из соотношения

.

Способ 2. Подставим в AR–уравнение вместо его выражение

, тогда получим:

Мы получили уравнение модели с распределенным лагом, для которой можно применить классический МНК.

В результате последовательного проведения двух регрессий мы получаем следующие значения:

Практическая реализация метода инструментальных переменных осложняется следующими обстоятельствами:

– при способе 1 возникает интеркорреляция между переменными и ; так как функционально связана с , то можно ожидать упомянутую выше интеркорреляцию.

– при способе 2 может помешать такое обстоятельство, что в исходной модели больше коррелирует с , чем с . Тогда модель , а значит и модель будут не вполне достоверно представлять переменную в правой части для модели по второму способу.

Эти проблемы иногда удается смягчить путем включения в модель временного фактора в качестве независимой переменной.