11.4. Полиномиальные лаговые структуры Алмон

Рассмотрим модель, в которой распределенный лаг имеет конечную длину . Зависимость коэффициентов регрессии от величины лага описывается полиномом, в общем случае, некоторой степени .

Для полинома 1-ой степени:

2-ой степени:

3-ей степени:

4-ой степени:

В развернутом виде коэффициенты перепишутся так:

Тогда уравнение можно записать таким образом:

Суммы в скобках последнего выражения можно принять за новые переменные z₀, z₁, …, z_k и тогда получим уравнение:

Чтобы рассчитать параметры модели с распределенным лагом нужно выполнить следующие действия:

1) определить длину лага . Это можно сделать на основе имеющегося опыта или перебрать несколько значений ; обычно от 2 до 5,

2) установить степень полинома ; обычно от 2 до 4,

3) по записанным выше формулам и таблице наблюдений, содержащей значения , рассчитать значения новых переменных

4) выполнить регрессию на набор переменных , и определить коэффициенты

5) по формулам для рассчитать все значения параметров исходной модели:

Несмотря на значительную привлекательность описанного выше метода, существуют следующие проблемы:

1. Не всегда легко выбрать длину лага , но лучше ориентироваться на максимально возможную длину лага (в разумных пределах), чем сразу ограничиваться лагами малой длины. В противном случае можно потерять существенный регрессор, то есть составить неправильную спецификацию модели. Влияние потерянного существенного регрессора будет сказываться в остатках, то есть в модели не станут соблюдаться предпосылки МНК по случайности остатков. Оценки параметров могут оказаться не только неэффективными, но и смещенными. Если лаг выбран слишком длинным, то в модель могут попасть несущественные факторы; эффективность оценок параметров может снизиться, но они останутся несмещенными. Если аналитик располагает достаточными ресурсами времени и вычислительными ресурсами, можно построить несколько моделей с различными значениями и сравнить их качество.

2. При выборе степени полинома обычно ограничиваются значениями 2,3,4, руководствуясь следующим соображением: степень полинома должна быть на единицу больше, чем число экстремумов в структуре лага.

3. Переменные представляют собой линейные комбинации лаговых значений фактора x и поэтому будут сильно коррелировать между собой, если имеет место высокая степень связи между исходными данными то есть имеет место автокорреляция во временном ряду объясняющих переменных.

Следует заметить, что при определении параметров с помощью МНК мультиколлинеарность переменных скажется меньше, чем мультиколлинеарность переменных при непосредственном определении параметров из исходного уравнения.

Преимущества метода лаговых структур Алмон:

1. Существует возможность воспроизвести достаточно разнообразные структуры лага с помощью подбора полинома нужной степени.

2. При небольшом количестве переменных можно построить модели с распределенным лагом произвольной длины.