10.2. Проблемы идентификации

Пусть в некоторой системе содержится экзогенных переменных и N эндогенных переменных. Тогда СФМ будет содержать параметров, подлежащих оценке, а ПФМ только . Рассмотрим эту систему:

СФМ:

для полных моделей, так как .

В СФМ содержится N(N+M–1) коэффициентов, а в ПФМ только NM коэффициентов и при

Очевидно, что из наличествующих коэффициентов ПФМ не удается однозначно определить все коэффициенты СФМ, если СФМ является полной. В таком случае говорят, что структурная модель не идентифицируется. Можно говорить о точной идентифицируемости, неидентифицируемости и сверхидентифицируемости (переопределенности) системы структурных уравнений и каждого уравнения в отдельности.

Система неидентифицируема, если неидентифицируемо хотя бы одно уравнение; система идентифицируема, если все ее уравнения идентифицируемы.

Пусть СОУ включает в себя N уравнений относительно N эндогенных переменных и пусть в системе имеется M экзогенных либо предопределенных переменных. Пусть количество эндогенных и экзогенных переменных в проверяемом уравнении равно n и m, соответственно. Переменные, не входящие в данное уравнение, но входящие в другие уравнения, называют исключенными переменными. Количество их равно N–n для эндогенных и M–m – для экзогенных переменных, соответственно. Тогда необходимое условие идентифицируемости для i–го уравнения будет иметь вид:

Достаточные условия идентифицируемости можно определить так:

1) в каждом уравнении структурной формы все переменные со своими коэффициентами переносятся в одну часть, при этом в другой части остается нуль;

2) для каждого i−го уравнения СФМ составляется матрица A коэффициентов при переменных, исключенных из данного уравнения, но входящих в другие уравнения;

3) вычисляется определитель этой матрицы и устанавливается ее ранг.

Если определитель отличен от нуля и ранг матрицы не меньше числа эндогенных переменных в системе минус единица (N–1), то уравнение идентифицируемо. При строгом неравенстве, то есть когда rank , оно сверхидентифицируемо; при точном равенстве (rank ) – точно идентифицируемо, а если rank , то уравнение неидентифицируемо и однозначно его коэффициенты определить нельзя. В последнем случае в неидентифицируемое уравнение следует ввести одну или несколько экзогенных переменных.

Пример:

	y1	y2	y3	y4	x1	x2	x3	x4
I	-1	0	0	b14	a11	0	0	0
II	0	-1	b23	0	0	a22	0	0
III	0	0	-1	b34	0	0	a33	0
IV	b41	b42	0	-1	0	0	0	a44

Для первого уравнения матрица a запишется:

-1	b23	a22	0	0
0	-1	0	a33	0
b42	0	0	0	a44

rank A = 3 = N – 1 = 4 – 1– уравнение I точно идентифицируемо.