8.3. Устранение гетероскедастичности

Для устранения гетероскедастичности или смягчения этой проблемы можно использовать так называемый взвешенный МНК (ВМНК). Рассмотрим ВМНК на примере парной регрессии:

.

Предполагается, что дисперсии остатков в каждом наблюдении нам известны. В качестве оценок дисперсии можно взять квадраты остатков в наблюдениях (единичных реализациях), так как математическое ожидание остатков в каждом наблюдении нулевое.

Разделим левую и правую часть уравнения на среднеквадратическое отклонение (СКО) остатка

Это уравнение регрессии без свободного члена, но с дополнительной объясняющей переменной z_i. Покажем, что для выполняется условие гомоскедастичности:

Если рассмотреть матричную форму записи модели множественной регрессии, то ВМНК будет сообразован с теоремой Айткена: В классе линейных несмещенных оценок вектора β для обобщенной линейной модели наиболее эффективна оценка

Если остатки гомоскедастичны, то есть Ω_ε = σ²I, то эффективной будет оценка

Ковариационную матрицу остатков при их гомоскедастичности (равноизменчивости) можно записать:

В случае с гетероскедастичностью эта матрица будет иметь вид:

Ковариационные матрицы оценок для гомоскедастичного и гетероскедастичного случаев будут иметь вид:

К сожалению, в большинстве случаев матрица Ω_ε точно не известна.

Иногда по результатам графического анализа гетероскедастичности можно увидеть, что Рассмотрим эти случаи на примере парной регрессии.

Для остатков будет выполняться условие гомоскедастичности и можно будет к уравнению применить классический МНК. Поясним это:

Для остатков будет выполняться условие гомоскедастичности и можно будет к уравнению применить классический МНК.

Действительно:

Для множественной регрессии можно рассмотреть версии , так как y есть линейная комбинация всех объясняющих переменных, и далее рассмотреть регрессию

9. Автокорреляция в остатках

9.1 Сущность и причины автокорреляции в остатках

Автокорреляция в остатках обычно встречается при регрессионном анализе временных рядов, и почти не встречается при анализе пространственных выборок. Чаще встречается положительная автокорреляция. Она в большинстве случаев вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов. При положительной автокорреляции остатки изменяются монотонно с течением времени наблюдения, а при отрицательной – следует частое изменение знака остатка.

Среди основных причин автокорреляции можно выделить следующие:

а) ошибки спецификации – неучет в модели какой-то важной объясняющей переменной или неверный выбор вида функции, что ведет к систематическим отклонениям точек наблюдения от линии регрессии,

б) инерция – запаздывание реакции экономической системы на изменение факторов,

в) сглаживание данных.

Последствия автокорреляции в остатках такие же, как и в случае гетероскедастичности (потеря эффективности, смещение дисперсий оценок параметров, занижение стандартных ошибок и завышение t–статистик параметров), а это может повлечь признание незначимых факторов значимыми. Вследствие перечисленных обстоятельств, прогнозные качества модели ухудшаются.

При анализе временных рядов вместо индекса i часто будем использовать время t, а вместо числа наблюдений n будем писать – продолжительность интервала наблюдения временного ряда.

Мы будем рассматривать автокорреляцию первого порядка, так как в большинстве практических случаев автокорреляционная функция быстро убывает.

Коэффициент автокорреляции 1-го порядка в остатках:

Если этот коэффициент корреляции существенно отличен от 0, то можно говорить о наличии автокорреляции.