Тема 4. Линейные операторы

4.1. Определение линейного оператора

Пусть и  линейные пространства. Рассмотрим отображение , которое каждому вектору ставит в соответствие вектор . Принята запись или . Вектор называют образом вектора , а вектор  прообразом при отображении A.

Определение. Отображение A называется линейным оператором, если оно обладает свойством линейности, т.е.

1) ; 2) .

Частным случаем линейного оператора являются линейная форма. Пространство совпадает в этом случае с .

Если пространство совпадает с , то линейный оператор называется линейным преобразованием пространства . В рамках данного курса мы ограничимся изучением только таких линейных операторов, которые являются линейными преобразованиями пространств. Ниже линейным оператором в пространстве будем называть линейное преобразование этого пространства.

Примеры линейных операторов.

1) Нулевой оператор, который переводит любой вектор в ноль.

2) Тождественный оператор .

3) Оператор умножения вектора на число . Этот оператор называется скалярным оператором и обозначается .

4) Оператор проецирования пространства на плоскость , который переводит вектор с координатами в вектор с координатами .

4.2. Матрица линейного оператора

Пусть – линейный оператор в пространстве и  базис пространства . Выразим координаты вектора через координаты вектора . Разложим вектор по базису : .

Из линейности оператора следует, что

. (4.1)

Векторы (образы базисных векторов при отображении ) принадлежат и, следовательно, разлагаются по базису :

. (4.2)

Координаты вектора (коэффициенты разложения (4.2)) запишем в виде вектор столбца. Из (4.1) следует, что столбец из координат вектора выражаются через координаты вектора соотношением:

. (4.3)

Коэффициенты в (2.7) определяют матрицу размера , которая называется матрицей оператора в базисе .

Столбцы этой матрицы состоят из координат векторов (образов базисных векторов при отображении ) в базисе . Формулы (4.2) и (4.3) устанавливают взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и их матрицами в фиксированном базисе пространства .

Координата из (4.3), определяется равенством , то есть она является линейной формой от вектора , коэффициенты которой образуют строку матрицы с номером (i-тую строку). Следовательно, согласно формуле (3.4), является произведением -ой строки матрицы A на столбец координат вектора . Это означает, что равенство (4.3), с помощью умножения матриц, можно записать в виде , или, подробнее

. (4.4)

4.3. Алгебра линейных операторов

Линейные операторы в пространстве образуют векторное пространство относительно сложения и умножения числа. Как было показано выше, в фиксированном базисе пространства линейные операторы однозначно определяются своими матрицами. Легко проверить, что при сложении операторов их матрицы складываются, а при умножении оператора на число его матрица умножается на это число. Следовательно, матричные элементы матрицы оператора являются его координатами. Соответствующий базис состоит из операторов , для которых и . Размерность этого пространства равна , где .

Введем операцию умножения линейных операторов.

Для заданных линейных операторов и их произведение определим правилом . Умножение оператора справа на оператор (или умножение оператора слева на оператор ) соответствует последовательному применению сначала оператора , а затем оператора .

Легко проверить, что оператор является линейным оператором.

Аналогично определяется произведение любого числа линейных операторов. Операция умножения операторов обладает следующими свойствами:

(4.5)

Умножение операторов, как правило, не коммутативно, т.е. .

Определим теперь с помощью умножения операторов умножение соответствующих им матриц. Пусть – матрицы операторов и соответственно в произвольном базисе .

Произведение матриц и задается равенством . Можно показать, что матричный элемент матрицы находится по формуле:

. (4.6)

Таким образом, элемент матрицы равен произведению -ой строки матрицы на -ый столбец матрицы .