Базис, координаты
Задача 4.
Найти базис и координаты векторов в
этом базисе на множестве
геометрических векторов, координаты
которых удовлетворяют условию
.
Решение. Множество является плоскостью, проходящей через начало координат. Произвольный базис на плоскости состоит из двух неколлинеарных векторов. Координаты векторов в выбранном базисе определяются решением соответствующей системы линейных уравнений.
Существует и другой способ решения этой задачи, когда найти базис можно по координатам.
Координаты
пространства
не являются координатами на плоскости
,
так как они связаны соотношением
,
то есть не являются независимыми.
Независимые переменные
и
(они называются свободными) однозначно
определяют вектор на плоскости и,
следовательно, они могут быть выбраны
координатами в
.
Тогда базис
состоит из векторов, лежащих в
и соответствующих наборам свободных
переменных
и
,
то есть
.
Задача 5.
Найти базис и координаты векторов в
этом базисе на множестве
всех векторов
пространства
,
у которых нечетные координаты равны
между собой.
Решение. Выберем, как и в предыдущей задаче, координаты в пространстве .
Так как
,
то свободные переменные
однозначно определяют вектор из
и, следовательно, являются координатами.
Соответствующий базис состоит из
векторов
.
Задача 6.
Найти базис и координаты векторов в
этом базисе на множестве
всех матриц вида
,
где
– произвольные числа.
Решение. Каждая матрица из однозначно представима в виде:
.
Это соотношение
является разложением вектора из
по базису
с координатами
.
Задача 7. Найти размерность и базис линейной оболочки системы векторов
.
Решение. Преобразуем с помощью ЭПС матрицу из координат векторов системы к ступенчато-треугольному виду.
.
Столбцы
последней матрицы линейно независимы,
а столбцы
линейно выражаются через них. Следовательно,
векторы
образуют базис
,
и
.
Замечание.
Базис в
выбирается неоднозначно. Например,
векторы
также образуют базис
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
1. Выяснить, являются ли линейно независимыми следующие системы векторов:
1)
2)
3)
;
4)
.
2. Найти ранг системы векторов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
В каждом из указанных пространств (подпространств) выбрать некоторый базис и определить координаты векторов в этом базисе.
3. Множество векторов пространства , координаты которых удовлетворяют уравнениям:
1)
;
2)
;
3)
;
4).
.
4. Множество всех векторов пространства , координаты которых удовлетворяют уравнениям:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
5. Множество всех матриц следующего вида:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
6. Найти размерность и базис линейной оболочки системы векторов.
1)
;
2)
;
3)
.
Ответы:
1. 1) Независима, 2) зависима, 3) независима, 4) зависима.
2.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
.
3.
1) Базис
,
координаты
.
2)
Базис
,
координаты
.
3)
Базис
,
координаты
.
4)
Базис
,
координата
.
4.
1)
Базис
,
координаты
.
2)
Базис
,
координаты
.
3)
Базис
,
координаты
.
4)
Базис
,
координаты
.
5.
1) Базис
,
координаты
.
2)
Базис
,
координаты
.
3)
Базис
,
координаты
.
4)
Базис
,
координаты
.
6. 1) , – базис ; 2) , – базис ;
3)
,
– базис
.