2.2. Координатное -мерное пространство

Выше было показано, что каждый геометрический вектор на плоскости задается двумя, а в пространстве тремя координатами, т.е. упорядоченным набором двух или трех действительных чисел. Важный пример линейного пространства дает многомерное векторное пространство, которое является естественным обобщением пространств геометрических векторов.

Рассмотрим множество упорядоченных наборов чисел .

Набор называется арифметическим вектором, а числа – его координатами. Арифметические векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их координаты. Линейные операции над арифметическими векторами вводятся покоординатно, т.е. при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число.

Определение. Множество арифметических векторов с введенными выше линейными операциями называется - мерным арифметическим или координатным векторным пространством.

Пространства , наряду с пространствами геометрических векторов, являются основными объектами изучения в данном курсе.

2.3. Линейная зависимость векторов

Пусть  система векторов,  произвольные числа.

Вектор называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами .

Определение. Векторы называются линейно независимыми, если из равенства нулю их линейной комбинации следует, что все коэффициенты комбинации равны нулю . Такая линейная комбинация называется тривиальной.

Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация векторов системы, равная нулю.

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией других.

Два геометрических вектора линейно зависимы, если они коллинеарны. Линейная зависимость трех геометрических векторов означает, что они компланарны, то есть лежат на одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Максимальное число линейно независимых векторов системы называется рангом этой системы векторов и обозначается .

Вопрос о линейной зависимости системы векторов пространства сводится к вопросу о существовании ненулевого решения линейной однородной системы алгебраических уравнений, коэффициентами которой являются координаты векторов .

2.4. Базис, координаты, размерность

Упорядоченная система векторов образует базис пространства , если каждый вектор однозначно представим в виде

. (2.1)

Равенство (2.1) называется разложением вектора по базису , а коэффициенты называются координатами вектора в этом базисе.

Базис является максимальной линейно независимой системой векторов в пространстве .

Число базисных векторов (и координат) равно размерности пространства (обозначается ). Координаты обладают свойством линейности, т.е. при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Отметим, что у базисного вектора координата с номером равна 1, а остальные координаты равны нулю.

Определение координат вектора из пространства в произвольном базисе сводится к решению системы из линейных уравнений с неизвестными.