Разложение векторов
З
адача
6. Точка
лежит на стороне
параллелограмма и
а точка
лежит на стороне
и
.
Разложить
векторы
и
по векторам
.
Решение.
По правилу сложения векторов
.
Так
как
,
то
.
Аналогично
.
Следовательно
.
Чтобы найти коэффициенты разложения, надо решить систему уравнений:
.
Подставив
разложение
в первое уравнение системы, получим
.
Задача
7. Разложить
вектор
по
векторам
.
Решение.
Представим вектор
в виде
.
Векторы равны, если равны их координаты.
Приравняв одноименные координаты
векторов справа и слева от знака
равенства, получим для вычисления
неопределенных коэффициентов
и
следующую систему уравнений:
Чтобы исключим коэффициент из первого уравнения, умножим второе уравнение системы на 4 и вычтем из первого.
.
Получаем
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
1. Для неколлинеарных векторов построить векторы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
2.
Даны векторы
.
Найти следующие векторы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
3.
Даны векторы
.
Найти следующие векторы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
4.
При каких
значениях
и
векторы
и
коллинеарные, если:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
5.
Найти медиану
треугольника
,
если:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
6.
В параллелограмме
точка
лежит на стороне
и
точка
лежит на стороне
и
.
Разложить векторы и по векторам :
1)
2)
3)
4)
7.
Разложить вектор
по векторам
и
,
если:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Ответы:
2.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
3.
1)
;
2)
3)
;
4)
.
4.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
5.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
6.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
7.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
Тема 2. Векторные пространства
2.1. Линейные (векторные) пространства
Складывать и умножать на числа можно не только геометрические векторы. Существуют множества объектов самой разной природы, для элементов которых также определены операция сложения элементов и операция умножения элемента на число, при этом указанные операции обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над геометрическими векторами.
Определение. Множество L называется линейным (векторным) пространством, если в нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число (линейные операции), удовлетворяющие аксиомам линейного пространства, т.е. равенствам L1. – L8.
Линейные пространства обладают целым рядом общих свойств, которые будут изучены в данном курсе.
Множества V1, V2, V3 геометрических векторов на прямой, плоскости и в пространстве соответственно, являются примерами линейных пространств.