Тема 1. Геометрические векторы

1.1. Основные определения

Геометрическим вектором называется направленный отрезок прямой, соединяющий точку с точкой . Векторы принято обозначать также жирными буквами или буквами с чертой (стрелкой) сверху .

Длина (модуль) вектора обозначается , длина вектора обозначается . Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых (обозначается ). Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены (обозначается ) или противоположно направлены ( ). Два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправлены и имеют одинаковую длину. Это определение означает, что параллельное перемещение не меняет вектора. Такие векторы называются свободными.

1.2. Линейные операции

Суммой векторов и называется вектор , соединяющий начало вектора с концом вектора , при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора . Так, если , то , так как .

Произведением вектора на число , называется вектор , коллинеарный вектору , длина которого , сонаправленный вектору , если и противоположно направленный если .

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными.

Линейные операции обладают следующими свойствами:

L1. ; L2. ;

L3. ; L4. ;

L5. ; L6. ;

L7. ; L8. .

Эти свойства называются аксиомами линейного пространства.

1.3. Координаты вектора

Обозначим символами единичные векторы, лежащие на координатных осях декартовой прямоугольной системы координат. Для любого вектора имеет место разложение , где коэффициенты называются координатами вектора. Вектор, таким образом, однозначно задается своими координатами. Принято также обозначение .

Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.

Координаты векторов обладают свойством линейности, т.е. при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Таким образом, линейные операции над векторами можно заменить линейными операциями над координатами.

Отсюда, в частности, следует, что координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Примеры решения типовых задач Линейные операции над векторами

Задача 1. Для неколлинеарных векторов построить вектор

Р ешение. Пусть (см.рис.).

Вектор лежит на той же прямой, что и вектор , втрое длиннее вектора и направлен в сторону, противоположную вектору . Следовательно . Вектор , а вектор .

Задача 2. Даны векторы . Найти вектор .

Решение. Применив свойства линейных операций над векторами, получим: .

Задача 3. Даны векторы . Найти вектор .

Решение. При сложении векторов, заданных координатами, их координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Следовательно .

Задача 4. При каких значениях и векторы и коллинеарны.

Решение. Векторы, заданные координатами, коллинеарны, если их координаты пропорциональны, то есть . Получаем: .

Задача 5. Найти медиану треугольника с вершинами в точках .

Решение. Координаты точки (середины отрезка ) равны полусумме координат точек и , то есть . Координаты вектора равны разности координат точек и , то есть .