2. Структурные средние:

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле.

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Выбор формы средней величины зависит от исходной базы расчета средней и от имеющейся экономической информации для ее расчета.

Исходной базой расчета и ориентиром правильности выбора формы средней величины являются экономические соотношения, выражающие смысл средних величин и взаимосвязь между показателями.

9. Свойства средней величины.

Св-ва:

1. Сумма отклонения от среднего равна нулю.

2. Сумма кв. откленеий от ср. арифметической, меньше суммы кв. отклонений от произвольно выбранного числа.

3)Если величину Х увелич/уменьш, на веричину «а», то среднее увелич/уменьшна на ту же величину

4) Если каждая величина Х уменьш в «а» раз, то и средняя уменьше в «а»и город.

10. Вариация: понятие, этапы исследования, основные элементы;

Вариация – это различное значение признака у отдельных единиц изучаемой совокупности, в 1 и тот же период или момент времени.

Этапы исследования:

1)Построение вариационно года

2)Графич изобр. Вариац ряда.

3)Расчет показателей центра распред.

4)Расчет показателей размера и интенсивности вариации.

Основные элементы:

1)Варианты – это те значения, ктр. принимает исследуемый признак.

2)Частоты – это абсолютная численность населения групп с различным значением признака.

3) Частости – удельные веса доли отдельных групп численность

11. Графическое изображение вариационного ряда;

Для графического изображения вариационного ряда в статистике используют:

• Гистограмму

• Полигон

• Кумуляту

Гистограмма – это столбиковая диаграмма, для построения ктр. на оси абцисс откладывают отрезки = величине интервалов вариационного ряда, на отрезках строятся прямоугольники, высота ктр. в принятом масштабе по оси ординат, соответствует частотам или частостям.

Полигон- график, образованный ломанной линией, соединяющей точки соответствующие средним значениям интервалов группировки и частотам этих интервалов, срединным значениям откладываемых по оси Х, а частоты или частости по оси Y (Наличие диапазона).

Кумулята – график ктр. строится по накопленным частотам или частостям и показывает сколько единиц совокупности или % имеет значение признака больше чем рассматриваемое значение. Накопленные частоты или частости, определяются последовательным суммированием частот или частостей.

12. Показатели центра распределения вариационного ряда;

Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используются так называемые показатели центра распределения. К ним относятся средняя величина признака, медиана и мода.

Средняя величина является наиболее распространенным статистическим показателем, с помощью которого дается обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Она показывает уровень признака в расчете на единицу совокупности. С помощью средних величин проводится сравнение различных совокупностей по варьирующим признакам, изучаются закономерности развития явлений и процессов общественной жизни.

В статистике применяются два класса средних: степенные (аналитические) и структурные.

К группе степенных средних относят среднюю арифметическую, геометрическую, квадратическую, гармоническую. Индивидуальные формулы для их вычисления можно привести к виду, общему для всех степенных средних, а именно

где m - показатель степенной средней: при m = 1 получаем формулу для

вычисления средней арифметической, при m = 0 - средней

геометрической, m = -1 - средней гармонической, при m = 2 -

средней квадратической;

x - варианты (значения, которые принимает признак);

f - частоты.

Средняя арифметическая вычисляется либо как простая, либо как взвешенная величина.

Расчет средней величины признака в вариационном ряду осуществляется по формуле средней арифметической взвешенной:

При расчете средней величины интервального ряда в качестве вариантов признака используются значения середины интервалов. Для нахождения середины открытых интервалов необходимо их предварительно условно закрыть, т. е. определить недостающую верхнюю и нижнюю границы. Принято считать, что в первой группе величина интервала равна интервалу второй группы, а в последней - интервалу предыдущей.

Мода - значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности. В дискретном ряду модой является вариант с наибольшей частотой (частостью). В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле:

Модальный интервал - это интервал, имеющий наибольшую частоту (частость).

Отметим, что вычисления моды в интервальном ряду является весьма условным.

Приближенно модальное значение признака можно определить и графически - по гистограмме. Для этого нужно взять столбец, имеющий наибольшую высоту, и из его левого верхнего угла провести отрезок в верхний угол последующего столбца, а из правого угла - в верхний правый угол предыдущего. Абсцисс точки пересечения отрезков и будет соответствовать модальному значению признака в изучаемой совокупности.

Медиана - вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части, таким образом, что половина единиц совокупности имеют значение признака меньше, чем медиана, а половина - больше, чем медиана. В интервальном ряду медиана определяется по формуле:

Медиальный интервал - это интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для его определения необходимо подсчитать сумму накопленных частот (частостей) до числа, превышающего половину объема совокупности.

Медиану приближенно можно определить графически - по кумуляте. Для этого высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой.

Расчет модального и медианного значений для вариационных рядов с неравными интервалами осуществляется по формулам, аналогичным приведенным выше, только вместо показателей частот (частостей) используются показатели абсолютной или относительной плотности распределения, которые обеспечивают сопоставимость неравных интервалов. Показатели плотности распределения находятся как отношения частот (частостей) к величине интервала:

- абсолютная плотность распределения

- относительная плотность распределения

где I - величина интервала.

По соотношению характеристик центра распределения (средней величины, моды и медианы) можно судить о симметричности эмпирического ряда распределения. Симметричным является распределение, в котором частоты двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В симметричном распределение средняя величина, медиана и мода равны между собой:

Если , то имеет место правосторонняя асимметрия, т. е. большая часть единиц совокупности имеет значение изучаемого признака, превышающие модальное значение. На графике распределения правая ветвь относительно максимальной ординаты вытянута больше, чем левая.

Соотношение характерно для левосторонней асимметрии, при которой большая часть единиц совокупности имеет значение признака ниже модального. На графике распределения левая ветвь вытянута больше, чем правая.

При анализе вариационного ряда важно знать не только направление асимметрии (правосторонняя или левосторонняя), но и ее степень, которая измеряется с помощью коэффициентов асимметрии.

*Наличие правосторонней асимметрии свидетельствует о том, что часть рабочих имеет з/п выше чем модальное значение.