История

Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Торричелли, Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных. После создания Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчислений смысл формулы стал трактоваться чисто математически: операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны.

Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади». У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века. Современное оформление и строгое доказательство впервые опубликованы также в начале XIX века Лакруа.

Интегрирование по частям

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода неоправдано.

Получение формул Для неопределённого интеграла

Функции и гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

Отсюда «следствие»: , что очевидно неверно.

Для определённого интеграла

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

Примеры

• 

• 

• Иногда этот метод применяется несколько раз:

• Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:

• В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:

Таким образом один интеграл выражается через другой:

Решив полученную систему, получаем:

Приближенное вычисление определенного интеграла

Пусть требуется найти определенный интегралот непрерывной функции ƒ(х). Если можно найти первообразную F(x) функции ƒ(х), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях (например, функция у = ƒ(х) задана графически или табличнo) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.

Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенного вычисления определенного интеграла — формулу прямоугольников, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.

Формула прямоугольников

Пусть на отрезке [а; b], а < b, задана непрерывная функция ƒ(х). Требуется вычислить интегралчисленно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Р азобьем основание этой трапеции, т. е. отрезок [а; b], на n равных частей (отрезков) длины (шаг разбиения) с помощью точек х₀ = а, x₁, х₂,..., х_n = b. Можно записать, что х_i= х₀+h• i, где i = 1,2,..., n (см. рис. 200).

В середине каждого такого отрезка построим ординату ŷ_i =ƒ(с_i) графика функции у = ƒ(х). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h • ŷ_i.

Тогда сумма площадей всех n прямо угольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла

Формула (42.1) называется формулой средних прямоугольников.

Абсолютная погрешность приближенного равенства (42.1) оценивается с помощью следующей формулы:

где М₂ — наибольшее значение |ƒ"(х)| на отрезке [а; b],

Отметим, что для линейной функции (ƒ(х)=kх+b) формула (42.1) дает точный ответ,

Формула трапеций

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей длины Абсциссы точек деления а = х₀, x₁,х₂,...,b = х_n (рис. 201). Пусть у₀,у₁...,у_n —

соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид х_i = a+h*i, у_i=ƒ(x_i), i= 0,1,2,..., n;

Заменим кривую у=ƒ(х) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат y_i и y_i+1 (i = 0,1,2,.. .,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями у_i, y_i+1 и высотой

или

Формула (42.2) называется формулой трапеций.

Абсолютная погрешность R_n приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы • М₂, где Снова для линейной функции у=kх +b формула (42.2) — точная.

42.3. Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции у=ƒ(х) на каждом отрезке [x_i-1;x_i] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла

Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы у = ах² + bх + с, сбоку — прямыми х = —h, х = h и снизу — Отрезком [-h; h].

П усть парабола проходит через три точки M₁(-h;у₀), М₂(0; y₁), М₃(h; у₂), где у₀ = ah₂ -bh + c — ордината параболы в точке х = -h; y₁ = с — ордината параболы в точке х = 0; у₂ = аh₂ + bh+c — ордината параболы в точке х = h  (см.рис 202). Площадь S равна

Выразим эту площадь через h, у₀, y₁, у₂. Из равенств для ординат у (находим, что с=y₁,

Подставляя эти значения с и а в равенство (42.3), получаем

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла

Для этого отрезок [а; b] разобьем на 2n равных частей (отрезков) длиной точками x_i=х₀ + ih (i= 0,1,2,..., 2n). В точках деления а = х₀, x₁, x₂,..., x_2n-2 ,x_2n-1, x_2n = b вычисляем значения подынтегральной функции ƒ(х): у₀, у₁,у₂,..., у_2n-2, у_2n-1, у_2n, где у_i=ƒ(х_i) (см. рис. 203).

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке [х₀;х₂] парабола проходит через три точки (х₀;у₀), (x₁;y₁), (x₂;y₂). Используя формулу (42.4), находим

Аналогично находим

Сложив полученные равенства, имеем

или

Формула (42.5) называется формулой парабол (или Симпсона).

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (42.5) оценивается соотношением

Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла во всех случаях, когда ƒ(х) — многочлен, степень которого меньше или равна трем (тогда f^IV = 0).

 

Пример 42.1. Вычислить, разбив отрезок интегрирования [0; 2] на 4 части.

Решение: Имеем: ƒ(х) = х^3,

(см.рис. 204)

а) по формуле прямоугольников:

б) по формуле трапеции:

в) по формуле парабол:

Точное значение интеграла

Абсолютные погрешности соответствующих формул таковы: а) 0,125; б) 0,25; в) 0.

Геометрические и физические приложения определенного интеграла

1. Вычисление площади плоской фигуры

1.1. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a, x = b и графиком функции , может быть вычислена по формуле (см. 10.1 рис. 1).

1.2. Если на отрезке [a, b],  непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b, графиками функций вычисляется по формуле (рис. 10).

1.3. Если функция на отрезке [a, b] принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой и осью , равна (рис. 11).

П р и м е р 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

Решение. Вычислим координаты точек пересечения графиков этих функций. Для этого решим систему

=

кв. ед. (рис. 12).

1.4. При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями   t   в формуле надо сделать замену переменной, положив , тогда получим , где  и   значения параметра t, соответствующие значениям x=a и x=b, т. е. .

Рис. 13

П р и м е р 16. Найти пло-щадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью .

Замечание. Циклоида  плоская кривая, которую описывает точка М окружности радиуса a, катящаяся без скольжения по прямой линии (рис. 13).

Решение. Искомая площадь

; .

П р и м е р 17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями , y = 2 .

Решение. Из условия задачи следует, что y>0 при любом t. Решим неравенство

, , .

Но по условию . При k = 0

 2  t  3 2  , .

При x не будет принадлежать интервалу . Фактически нужно вычислить площадь фигуры, заключенной между прямой y = 2 и частью циклоиды, расположенной выше этой прямой (рис. 14).

Искомая площадь

.

Рис. 15

2. Вычисление площади криволинейного сектора. Пусть кривая AB зада-на в полярных координатах уравнением , , причем  непрерывная и неотрицательная на отрезке функция. Фигуру, ограниченную кривой AB и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы , будем называть криволинейным сектором.

Площадь криволинейного сектора может быть вычислена по формуле

. (27)

П р и м е р 18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (4-лепестковая роза  рис. 16).

Решение. Меняя непрерывно  от 0 до , можно построить первый лепесток. Составим таблицу значений функций (табл. 3).

Таблица 3

	0
	0	2		4		2	0

Рис. 16

Рис. 17

Вычислим площадь одного лепестка по формуле (27)

.

Следовательно, площадь всех лепестков

.

П р и м е р 19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями , (рис. 17).

Решение. При изменении от 0 до полярный радиус опишет кривую, изображенную на (рис. 17), при . Уравнение есть уравнение окружности с центром в точке 0 радиуса 2. Найдем, при каких линии пересекаются. Для этого решим систему

;

; ; .

И тогда искомая площадь

;

.

3. Вычисление длины дуги плоской кривой

3.1 Если функция y = f(x) непрерывна вместе с её производной f'(x) на отрезке [a, b], то длина дуги AB, где A(a,f(a)), B(b, f(b)), выражается формулой

. (28)

3.2. Если кривая задана параметрическими уравнениями , где x(t), y(t)  дифференцируемые функции, то длина дуги

. (29)

3.3. Если дуга задана в полярных координатах , , то длина дуги

. (30)

П р и м е р 20. Вычислить длины дуг плоских кривых:

а) ; б) ;

в) , .

Решение. а) Воспользуемся формулой (10). Так как

,

то

.

б) Воспользуемся формулой (11). Так как , то .

в) .

4. Вычисление объемов. Нахождение объемов некоторых тел можно свести к вычислению определенных интегралов.

4.1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикулярными оси OX, т. е., зная х, мы можем вычислить площадь сечения S = S (x). Тогда объем тела в предположении, что S(x)  интегрируемая функция.

4.2. Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела ;

б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y=c, y=d (c<d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем ;

в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле ;

г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле .

П р и м е р 21. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций и вокруг оси OX.

Решение. найдем точки пересечения параболы и прямой . Решим систему:

 

Получим две точки пересечения:

Рис. 19

х₁ = 1, у₁ = 1; х₂ = 2, у₂ = 0.

Сделаем чертеж (рис. 19).

.

Рис. 20

П р и м е р 22. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

; z = 0; z = 3.

Решение.  однополостной гиперболоид. При пересечении его плоскостями z = h в сечении получаем эллип-сы (рис. 20) с полуосями , . Как известно, площадь эллипса

куб. ед.

5. Вычисление площади поверхности вращения

5.1. Поверхность, образованная вращением кривой , a < x < b вокруг оси OX, имеет площадь

.

5.2. Если кривая задана параметрическими уравнениями

,

причем , то

.

5.3. Если дуга , , задана в полярной системе координат кривой, и вращается вокруг полярной оси, то площадь поверхности вращения можно вычислить по формуле

Рис. 21

.

П р и м е р 23. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением части окружности x² + y² = R² вокруг оси OX (рис. 21).

Решение. Из уравнения окружности имеем . Вращаем вокруг оси ОХ дугу верхней части.

Найдем и Тогда по соответствующей формуле площадь шарового пояса

Физические приложения определенного интеграла

Вычисление работы с помощью определённого интеграла.

Пусть под действием некоторой силы материальная точка М движется по прямой в направлении оси . Требуется найти работу, произведённую силой при перемещении точки М из положения в положение .

1. Если сила постоянна , то работа выражается следующим образом .

2. Если сила переменная величина, то .

Пример:

Два электрических заряда и находятся на оси соответственно в точках и . Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку ? (Сила взаимодействия зарядов ).

Решение:

= = = =

= .

Координаты центра тяжести.

Центром тяжести совокупности материальных точек называется центр параллельных сил тяжести, приложенных в этих точках.

Для материальной дуги АВ плоской кривой прямоугольные координаты центра тяжести определяются формулами :

, .

Для материальной однородной криволинейной трапеции, прилежащей к оси и имеющей верхнюю границу , центр тяжести имеет координаты

где площадь криволинейной трапеции.

Центр тяжести произвольной плоской, ограниченной графиком функции

сверху и снизу, определяется формулами

Пример:

Найти координаты центра тяжести однородного полукруга , расположенного над осью .

Решение:

Применим формулы

Так как полукруг расположен над осью , то верхняя граница задаётся уравнением В силу симметрии фигуры относительно оси ординат, абсцисса центра тяжести равна нулю. Найдём ординату:

Координаты центра тяжести имеют вид