Момент инерции

Момент инерции – скалярная величина, характеризующая  распределения масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. 

Единица измерения СИ: кг·м². Обозначение: I или J.

Момент инерции тела относительно оси вращения  зависит от массы тела и от распределения этой массы. Чем больше масса тела и  чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело.

Момент инерции элементарной (точечной) массы m_i , отстоящей от оси на расстоянии  r_i , равен:  

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

^,

где:

• m_i — масса i-й точки,

• r_i — расстояние от i-й точки до оси.

,

где:

•  — масса малого элемента объёма тела ,

•  — плотность,

•  — расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции Ja
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1	Ось цилиндра
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

J = J_c + ma².

Рис. 1

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

.

Момент силы

Момент силы, величина, характеризующая вращательный эффект силы при действии её на твёрдое тело; является одним из основных понятий механики. Различают момент силы относительно центра (точки) и относительно оси.

Если имеется материальная точка О, к которой приложена сила , то момент силы относительно этой точки равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющего точку О и точку приложения силы, на вектор силы :

., ^(Н•м).

Момент силы — аксиальный вектор⁸. Он направлен вдоль оси вращения. Направление вектора момента силы определяется правилом буравчика, а величина его равна M (рис.2).

Рис. 2

Модуль момента силы:

M = F· l = F·r·sin α,

где: M – момент силы (Ньютон·метр), F – приложенная сила (Ньютон), r – расстояние от центра вращения до места приложения силы (метр), l = r•sin α – плечо силы, т.е. длина перпендикуляра, опущенного из центра вращения на линию действия силы (метр), α – угол, между вектором силы F и вектором положения r.

Момент силы относительно оси – величина алгебраическая, равная проекции на эту ось вектора М момента силы относительно любой точки О оси.

Пользуясь понятием момента силы можно по-новому сформулировать условия равновесия тела, закрепленного на оси. Это условие называется правилом моментов:

если на тело, закрепленное на оси, действует много сил, то для равновесия тела, закрепленного на оси, алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, должна быть равна нулю:

М₁ + М₂ + … + М_n = 0.

Считают момент силы положительным, если эта сила, действуя в отдельности, вращала бы тело по часовой стрелке, и отрицательным в противоположном случае (при этом нужно заранее условиться, с какой стороны мы будем смотреть на тело). Например, согласно рис.3, силам F₁ и F₂ следует приписать положительный момент, а силе F₃ – отрицательный.

Рис. 3.

Моменты  сил F₁ и F₂ положительны, момент силы F₃ отрицателен.