Равномерное вращательное движение

Если угловая скорость ω = const, то вращательное движение называется равномерным.

При равномерном вращении его быстроту также описывают частотой оборотов n и периодом вращения T.

^{Частота оборотов n равна числу оборотов, сделанных за единицу} времени,

^{Где N – число оборотов за время t.}

Т.к. за один оборот тело поворачивается на угол, равный 2, то

^{ = 2N и  = 2n}

^{Период вращения T – это время, за которое тело совершает один} оборот.

Т.к.

, то

, .

[ω]= рад/с , [n]= об/с , [T]= с

Уравнение равномерного вращения имеет вид

φ = φ₀ + ωt.

В частном случае, когда начальный угол поворота

φ₀ = 0, φ = ωt.

Угловую скорость равномерно вращающегося тела

ω = φ / t

можно выразить и так: ω = 2π / T,

где: T – период вращения тела;

φ = 2π – угол поворота за один период.

Неравномерное вращение

^{Неравномерное вращение (угловая скорость изменяется со временем)} характеризуется угловым ускорением .

Угловое ускорение ³ - вектор, равный производной от угловой скорости  по времени t ,

^,

dω - изменение угловой скорости за время dt.

[ ]=

Векторы и направлены по оси вращения тела. При ускоренном вращении тела ^{направления векторов и совпадают, при замедленном – противоположны (рис. 2).}

Рис. 2

Равнопеременное вращение

Если угловое ускорение ε = const, то вращательное движение называется равнопеременным. Равнопеременное вращение характеризуется следующими уравнениями:

и  = ₀ + t,

₀ и ₀ – угловая скорость и угол поворота тела в начальный момент t₀=0,

^ и  – в момент времени t. При ускоренном вращении в этих уравнениях ^{выбирается знак «+», а при замедленном – знак «–».}

Связь линейных и угловых характеристик

^{Если точка тела отстоит от оси вращения на расстоянии} r, то за время dt ^{она проходит путь}

dS = dr

Скорость точки

, или v =  r

При вращении тела тангенциальное ускорение его точки

, или

a_=r

Нормальное ускорение точки тела

, или

/a_n= ²r

Полное ускорение, как указывалось ранее, определяют по формуле

Момент инерции

Момент инерции - скалярная величина, характеризующая  распределения масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. 

Единица измерения СИ: кг·м². Обозначение: I или J.

Момент инерции тела относительно оси вращения  зависит от массы тела и от распределения этой массы относительно этой оси. Чем больше масса тела и  чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело.

Момент инерции элементарной (точечной) массы m_i, отстоящей от оси на расстоянии  r_i, равен:

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где:

m_i — масса i-й точки,

r_i — расстояние от i-й точки до оси.

,

где:

 — масса малого элемента объёма тела ,

 — плотность,

 — расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции Ja
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1	Ось цилиндра
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями:

J = J_c + ma².

Рис. 3

где  — полная масса тела (рис. 3).

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен: