Министерство образования Российской Федерации

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра Экономической Информатики

Расчетно-графическая работа по Методам Оптимизации

Часть 4: «Динамическое программирование»

Вариант 4

Факультет: Бизнеса

Группа:

Студент :

Преподаватель: Кириллов Ю.В.

Новосибирск

2006

Цель работы:

• научиться строить модели динамического программирования для задач различных классов, в которых процесс принятия решений может быть многошаговым;

• правильно определить суть и природу состояний управляемой системы, мероприятий, составляющих управление системой;

• приобрести практические навыки и опыт решения многошаговых задач методом динамического программирования.

Условие задачи:

Коммерческая фирма закупила товары четырех наименований a₁, A₂, а_з и А₄ по 10 упаковок каждого за пределами своего города. Доставку товаров предполагается осуществить собственным автофурго­ном за несколько рейсов. Грузоподъемность фургона составляет V кг. Вес одной упаковки товара каждого наименования равен соответствен­но V₁, V₂, V_з и V₄ кг, а стоимость – C₁, C₂, C₃ и С₄ тыс. руб.

Определить, какие виды товаров и в каком количестве необходимо перевезти первым рейсом, с тем, чтобы их стоимость была максималь­ной.

Исходные данные:

V = 86

V₁ = 7, V₂ = 14, V₃ = 13, V₄ = 15.

C₁ = 160, C₂ = 490, C₃ = 340, C₄ = 510.

Задание:

• записать математическую модель задачи

• решить задачу методом Гомори

• рассматривая задачу как модель динамического программиро­вания, записать соответствующие функциональные уравнения Беллмана

• решить задачу с помощью ПЭР двумя способами:

а. методом ветвей и границ как задачу целочисленного линейного программирова­ния

б. методом динамического программирования как задачу о ранце.

• результаты сравнить и проанализировать

• решить задачу о выборе траектории самолета

• построить графическое изображение траектории самолета

• выводы по работе.

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени.

Пусть некоторая физическая управляемая система находится в первоначальном состоянии . С течением времени ее состояние изменяется и система приходит в состояние . С процессом изменения состояния системы связан некоторый численный критерий Z. Задача динамического программирования так организовать процесс, чтобы критерий достиг оптимального значения.

Z=, (1)

где U_k – управление системой на k-ом шаге, переводящее систему из состояния в состояние .

Так как процесс решения задачи динамического программирования предусматривает рассмотрение распределения каждой единицы предоставляемого объема, то сам процесс решения задачи с объемом «ранца», равным 86 единицам, получается довольно трудоемким.

Поэтому возьмем на себя право немного скорректировать условия задачи:

пусть Vранца = 14,

соответственно, для того, чтобы решение задачи не было очевидным и ее было интересно решать, скорректируем и объемы элементов продукции:

пусть V₁ = 2,

V₂ = 4,

V₃ = 3,

V₄ = 5.

Математическая модель задачи:

Z = 160X₁ + 490 X₂ + 340 X₃ + 510 X₄ → max

2 X₁ + 4 X₂ + 3 X₃ +5 X₄ ≤ 14

X_i ≥0, целые; i = 1,4

Составим таблицу, представляющую зависимость значений функций от предоставляемого объема.

V	X1	Z1(X1)	X2	Z2(X1)	X3	Z3(X1)	X4	Z4(X1)
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	0
2	1	160	0	0	0	0	0	0
3	1	160	0	0	1	340	0	0
4	2	320	1	490	1	340	0	0
5	2	320	1	490	1	340	1	510
6	3	480	1	490	2	680	1	510
7	3	480	1	490	2	680	1	510
8	4	640	2	980	2	680	1	510
9	4	640	2	980	3	1020	1	510
10	5	800	2	980	3	1020	2	1020
11	5	800	2	980	3	1020	2	1020
12	6	960	3	1470	4	1360	2	1020
13	6	960	3	1470	4	1360	2	1020
14	7	1120	3	1470	4	1360	2	1020