Кириллов Прикладные методы оптимизации / ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №2 по ПМО

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Новосибирский государственный технический университет»

Кафедра экономической информатики

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №2

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Прикладные методы оптимизации»

По теме: ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Выполнил: ФБИ-22

Факультет бизнеса

Проверил:

к.т.н, доцент Кириллов Ю.В.

Новосибирск 2014

Цель работы

– приобрести практические навыки и опыт решения транспортной задачи

(ТЗ) линейного программирования в матричной постановке с помощью программы пакет экономических расчетов (ПЭР);

– научиться анализировать полученное решение, находить возможные варианты решения;

– увидеть связь между ТЗ и общей задачей линейного программирования

(ОЗЛП), а также между математическими моделями ТЗ и задачи о назначениях (ЗН).

Условие задачи

Транспортная фирма обслуживает n поставщиков и m потребителей однородного груза. В течение дня из каждого пункта поставки фирма должна вывезти соответственно A₁,A₂,…,A_n тонн груза, а в каждый пункт потребления доставить соответственно B₁, B₂, …, B_m тонн. Себестоимость (в тысячах рублей) перевозки одной тонны груза от i-го поставщика j-му потребителю заданы матрицей C=║_n×m.Найти такой план перевозки грузов, при котором издержки транспортной фирмы будут минимальными.

Рис.1 Исходные условия «Вариант 4»

Таблица 1. Общий вид транспортной матрицы

Построим сначала математическую модель данной ТЗ. переменными задачи являются элементы матрицы перевозок

Таблица 2. Транспортная матрица

Пункты отправления, Ai	Пункты потребления, Bj						Запасы, ед. прод.
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	10	8	12	9	6	80
A2	5	7	11	6	7	320
A3	12	8	9	12	10	225
Потребность ед. прод.	215	110	120	90	125	> 660>625

ЦФ задачи представляет общую стоимость всех перевозок по все возможным маршрутам:

Z(X)= 10x₁₁+8x₁₂+12x₁₃+9x₁₄+6x₁₅+

+5x₂₁+7x₂₂+11x₂₃+6x₂₄+7x₂₅+

+12x₃₁+8x₃₂+9x₃₃+12x₃₄+10x₃₅

Ограничения по полному вывозу имеющейся продукции со всех складов представлены уравнениями:

Ограничения по полному удовлетворению потребностей всех магазинов представлены уравнениями:

Рис. 2 Начальное решение по транспортной задаче

Рис. 3 Итерация 1

Рис. 4 Итерация 2

Рис. 5 Итерация 3

Рис.6 Итерация 4

Рис.7 Итерация 5

Рис. 8 Конечная таблица для транспортной задачи

Рис. 9 Итоговый результат для транспортной задачи

Решим теперь данную задачу с использованием начального опорного плана, построенного по методу VAM. Для этого необходимо вернуться в функциональное меню ПЭР, войти в режим решения задачи и выбрать опцию «Инициализировать VAM-метод».

Рис. 10 Начальное решение транспортной задачи по Фогелю

Рис. 11 Итерация 1 по Фогелю

Рис. 12 Конечная таблица по Фогелю

Рис. 13 Итоговый результат по Фогелю

Как мы видим, значение ЦФ в опорном плане, полученном методом Фогеля, ближе к оптимальному, чем в опорном плане, полученном методом северо-западного угла. Решение методом Фогеля находится за меньшее число итераций. Итоговые результаты в обоих случаях совпадают. Всё это подтверждает о высокой скорости работы Фогеля.

Таким образом, решение ТЗ следующее:

=

Экономический смысл такой, что будет перевезено:

• 80 единиц продукции от поставщика 1 к потребителю 5;

• 215 единиц продукции от поставщика 2 к потребителю 1, 90 единиц продукции от поставщика 2 к потребителю 4, 15 единиц продукции от поставщика 2 к потребителю 5;

• 110 единиц продукции от поставщика 3 к потребителю 2, 115 единиц продукции от поставщика 3 к потребителю 3;

• 5 единиц продукции от фиктивного поставщика к потребителю 3 (фактически означает, что спрос третьего потребителя будет не удовлетворён на 5 единиц); 30 единиц продукции от фиктивного поставщика к потребителю 5;

• Минимальные затраты на перевозку составят 4115.

Составим систему уравнений для заполненных клеток и найдем потенциалы потребителей и поставщиков.

Уравнение характеристики представлено формулой:

Проверяем оценки рентабельности «свободных» перевозок:

Полученные оценки рентабельности свободных клеток подтверждают выполнение критерия оптимальности, следовательно, план является оптимальным.

=

Этапы решения задачи в МО Excel представлены на рисунках 14-16:

Рисунок 14. Ввод данных

Рисунок 15. Поиск решения

Рисунок 16. Найденное решение

Можно убедиться, что результат, полученный с помощью «Поиска решения» MO Excel, совпадает с результатом, полученным с помощью ПЭР.

Условие задачи о назначениях:

n =4, m =4;

A₁ = 1, A₂ = 1, A₃ = 1, A₄ = 1;

B₁ = 1, B₂ = 1, B₃ = 1, B₄ = 1.

Таблица 3. Матрица затрат

Рабочий Ai\ Задание Bj	B1	B2	B3	B4
A1	2	4	5	7
A2	3	3	1	6
A3	8	2	5	1
A4	7	5	2	9

Математическая модель задачи о назначениях представлена формулами 6–10.

, (6)

где n — число объектов (исполнителей), m — число заданий (работ), c_ij — затраты от назначения i-го объекта на j-е задание, x_ij — логическая переменная, принимающая значение 1, если i -й объект назначается на j -е задание, и значение 0 — в противном случае.

Переменные задачи:

(7)

Целевая функция (прибыль от назначений):

(8)

Ограничения по рабочим:

(9)

Ограничения по заданиям:

(10)

Решение задачи о назначениях представлено на рисунках 17–21.

Рисунок 17

Рисунок 18

Рисунок 19

Рисунок 20

Рисунок 21

Оптимальное решение задачи о назначениях:

Таким образом, первый рабочий выполняет первое задание, второй — второе, третий — четвертое, четвёртый — третье. При этом минимальные затраты составляют 8.

Составим систему уравнений для заполненных клеток (общий вид — формула 4) и найдём потенциалы рабочих и заданий.

Для данной задачи существует несколько оптимальных планов (проверим расчётом характеристик свободных клеток таблицы). Уравнение характеристики представлено формулой 5.

Как мы видим, характеристика клетки , что и означает существование альтернативных вариантов решения задачи о назначениях. Найдём один вариант,организовав цикл пересчёта для клетки 2-4 (рисунок 22).

В построенном цикле пересчета у клеток ч «-» невозможно забрать никакой объем груза, поэтому формально между отрицательными и положительными клетками перераспределяется нулевой объем. При этом занятая клетка перемещается из А₁В₄ в А₂В₄.

Проверим полученный опорный план на оптимальность:

Полученный план удовлетворяет критерию оптимальности. Таким образом, альтернативное решение задачи о назначениях

Вывод:

1. Приобрели практические навыки и опыт решения транспортной задачи (ТЗ) линейного программирования в матричной постановке с помощью программы пакет экономических расчетов (ПЭР);

2. Научились анализировать полученное решение, находить возможные варианты решения;

3. Увидели связь между ТЗ и общей задачей линейного программирования (ОЗЛП), а также между математическими моделями ТЗ и задачи о назначениях (ЗН).