3.Пуассоновские процессы

3.1. Примеры пуассоновских процессов в асу.

Математической моделью, часто используемой для анализа и интерпретации процессов в АСУ является пуассоновский процесс. К пуассоновским процессам приводят задачи, рассмотренные в следующих примерах.

Пример 3. В таблице 1 приведены данные от отказах электронной вычислительной машины в виде наблюдаемых моментов времени отказов t_1, t_2, . . . , t _n [3]. Другим способом задания такого процесса является построение графика числа накопленных отказов – функции N (t). График для числа накопленных отказов электронной вычислительной машины представлен на рис. 4.

Пример 4. В качестве второго примера рассмотрим вычислительную систему, функционирующую в режиме реального времени. В этой системе задания на обработку поступают в ЭВМ от терминалов по линиям связи от удаленных пользователей. Так как пользователи независимы, они инициируют задания в произвольные моменты времени. Если первое задание пришло в момент t_{1 ,} второе – в момент t₂ и т.д., то этот поток заданий можно описать с помощью функции N (t), соответствующей числу заданий, поступивших к моменту времени t.

Таблица 1.

Данные об отказах электронной вычислительной машины

(в условных единицах).

	Номер отказа
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Момент отказа	340	570	604	1358	1469	1484	1619	1764	1862	2150
Номер отказа	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Момент отказа	2420	2566	2800	2888	3001	3289	3335	3405	3643	3724
Номер отказа	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Момент отказа	4490	4508	4868	5161	5199	5228	5745	6273	6847	7863

Рис.4. данные об отказах вычислительной машины. Накопленное

число отказов в зависимости от времени.

3.2. Дифференциальные уравнения для переходных вероятностей

В рассмотренных примерах для решения практических задач достаточно ограничиться анализом числа событий M (∆ τ), произошедших за произвольный, но фиксированный промежуток времени ∆ (t). Очевидно, что M (∆t) будет случайной величиной, принимавшей значения 0, 1, 2, … .

Пусть (∆t) есть вероятность того, что M(∆t) = n. В частности, (∆t) есть вероятность того, что не произойдет ни одного события, а (1- (∆t)) – вероятность того, что произойдет хотя бы одно событие.

Предположим , что при ∆t → 0

(3.1)

где ∆t = t ₁ − t _2, λ - положительная постоянная.

Будем полагать, что распределение (∆t) не зависит от t _{1 ,} т.е. процесс однородный во времени. Тогда выражение (3.1) является производной величины

(∆t) при ∆t = 0. Для малого интервала длины n вероятность одного или большего числа событий равна

1 - (n) = λ h + 0 (h),

где через 0 (h) обозначена величина, убывающая быстрее, чем h .

Предположим, что выполнены следующие условия какого бы ни было число событий в период времени (0, t), условная вероятность того, что в течение интервала времени (t, t + h) произойдет событие, равна λ h а вероятность того, что произойдет более чем одно событие, равна 0 (h).

Однородный процесс, удовлетворяющий введенным предположениям, называется процессом Пуассона [5].

Из условия (3.1) легко вводится система дифференциальных уравнений для Рn (t). Для их вывода рассмотрим два смежных интервала (0, t) и (t, t+ h). Если n ≥ 1, то в интервале (0, t + h) может произойти ровно n событий тремя взаимно исключающими друг друга способами:

ни одного события за время (t, t+ h) и n событий за время (0, t);

одно событие за время (t, t+ h) и (n - 1) событие за время (0, t);

m ≥ 2 событий за время (t, t+ h) и (n - m) событий за время (0, t).

В соответствии с нашими предположениями вероятность первой из возмож- ностей равна произведению P_n (t) на вероятность того, что в интервале (t, t+ h) не произойдет ни одного события.

Вероятность того, что в интервале (t, t+ h) не произойдет события, равна

1. λ h – 0 (h). Вторая возможность имеет вероятность имеет вероятность

Р_n-1(t) ∙ λ h + 0, h и, наконец, вероятность третьей возможности убывает быстрее, чем h. Суммируя рассмотренные вероятности возможных изменений, можно получить

Р_n (t+ h) = Р_n (t) (1- λ h) + Р_n-1 (t) λ h + u (h). (3.3)

Это выражение можно записать в виде

Устремляя , получим, что

Р'_n (t) = – λ Р_n (t) + λ Р_n-1(t) , n ≥ 1 (3.4)

при n = 0 вероятности второй и третьей возможности равны нулю и выражение (3.4) имеет вид

Р'₀ (t) = – λ Р₀ (t). (3.5)

Выражение (3.5) является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, а его решение для Р₀ (t = 0) =1 имеет Р₀ (t) = e ^{- λ t}.

Подставляя e ^{- λ t} в выражении (3.4), для n =1 получим дифференциальное уравнение для вероятности Р₁ (t). Аналогично можно найти члены уравнения (3.4) для n >1.

Для уравнений (3.4) - (3.5) ясен смысл параметра λ, он характеризует интенсивность событий , связанных с процессом Пуассона.

Вероятность Р₁ (t) равняется λ t e ^{- λ t}. Эта вероятность характеризует при Р₀ (t = 0) =1 вероятность наступления события к моменту времени t. Аналогично для n >1 получим

(3.6)

• вероятность того, что при Р₀ (t = 0)= 1 за время t произойдет ровно n событий.

Распределение (3.6) является распределением Пуассона [ 1 ].