66. Факторный анализ, основные понятия.

ФА - особое место в S. Один из многомерных методов анализа данных.

Цель ФА – исследование взоимосвязи м/у переменными.

С помощью ФА решаются следующие задачи:

1. Уменьшение размерности данных. Изучаемые О-ты м. характеризовать ∞ числом разных признаков. ФА позволяет сгруппир-ть признаки по смысловому сходству, отыскав т.о. не > число независимых параметров д/

описания О-тов. =>↓ размерности данных - когда от большого набора св-в переходят к < перечню существен признаков.

2. Косвенное измерение. ФА базируется на предположении о том, что зависимость наблюдаемых переменных объясняется существованием к-т стоящей за ними общей причины (или нескольких причин).

ТО, наблюдаемые переменные рассматр-ся в качестве косвенных индикаторов так назывемых латентных переменных (т.е. переменных, которые непосредственно не измеримы). ФА позволяет получить і, помогающую нам идентифицировать латентные переменные,дает возм-ть количественно оценить значение латентной переменной.

2 класса факторн моделей:

1)факторн модели, где факторные решения ортоганальны (2 вектора ортоганальны, если угол м/у ними 90 градусов). Выделение причин, кот не завис др от др первонач-но. «метод главных компонент»

2) факторн решения, где угол м/у векторами м.б. <, > 90 градусов. «центроидный метод» - пучек выходящих векторов.

Варимакс нормализация - обеспеч-ет достижение эффективного мах-ма по наиб широкому кругу параметров.

Алгоритм сравнения факторн моделей:

Факторн модели сравн-ся как по матрицам полученным до вращения, так и по матр-м полученным после.

В идеале: д. совпадать тенденции по 1 и 2 матричн стр-рам.

Модели вращения д.б. одинак д/ 2 сравниваемых факторов.

После use алгоритмов вращенияфакторн нагрузки начинают концентрирся вокруг одного из факторов, что позволяет потом делать > адекват выводы по факторн стр-ре.

Принципиальн схема расчета ФА:

1. матрица исходных значений (ее размерность опред-ся колич-вом О-в и кол-вом параметров)

2. матрица корреляций (по главной диагонали «1», симметричная)

3. матрица факторных нагрузок без вращения (ее размерность опред-ся кол-вом параметров и кол-вом выбранных факторов)

4. матрица факторн нагрузок после вращения

5. матрица, кот явл-ся факторным решением (на практике – столько таблиц, сколько факторов, d таблица отранжир-на по факторн нагрузке)

6. матрица факторн коэффициентов (размерность – кол-во факторов на колич-во О-в). Ее не вращают.

7. построение групп с use матрицы факторных коэффиц-в.

Числа, стоящие на пересечении строк и столбцов, называются нагрузками (loadings) переменных на факторы. Нагрузка – это коэффициент, кот-й показывает, какой вес имеет данный фактор для предсказания значения соответствующей переменной у испытуемого (от -1 до 1).

Одни факторы > важные, другие - < важные для объяснения отдельных переменных или их интеркорреляций.

Показатель, с пом кот м. характеризовать важность фактора для объяснения всей совокупности переменных, включенных в анализ – сумма квадратов нагрузок всех переменных на данный фактор. Этот показатель, вычисленный д/факторного отображения до проведения вращения носит название собственного значения фактора (eigenvalue).

Чтобы легче было судить о важности фактора, собственные значения выражают в виде процента объясненной дисперсии всей совокупности переменных – объясняющая способность.

Колич-во факторов.

Оч важно правильно выбрать кол-во факторов

Неск основных способов выбора кол-ва факторов:

• Критерий Кайзера. Оставлять факторы, собственное значение которых превышает 1.0.

• Способ Р.Кеттела. Этот способ базируется на анализе специального графика, на котором изображается зависимость величины собственного значения фактора от его номера. График получил название Scree Plot - напоминает склон горы. "Скальная" часть соответствует реально существующим факторам, осыпь "осколков" у подножия - статистическому шуму. Обычно кривая на графике имеет несколько точек перегиба. Р.Кеттел показал, что оптимальное число факторов можно выделить по точке второго перегиба.

Для интерпретации также выводится матрица корреляций между переменными и факторами, называемая факторной структурой.