6.Цільові навчальні завдання.

6.1. Яка довжина другого потягу, якщо пасажир першого потягу помітив, що другий потяг пройшов вздовж нього на протязі 6 с, при цьому перший та другий потяги рухались назустріч один одному зі швидкостями відповідно 36 км/год і 54 км/год?

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗКУ

Відлік часу руху другого потягу здійснював пасажир, що знаходився у вагоні першого потягу. Тому нерухому систему відліку пов’яжемо із першим потягом. Якщо перший потяг будемо вважати нерухомим, то, звідси витікає, що відносно першого потяга буде рухатись Земля зі швидкістю, яка дорівнює швидкості першого потягу, але спрямована у протилежному напрямі V_З = V₁ Рухому систему відліку пов’яжемо із Землею. Початок координатної вісі візьмемо у точці О, в якій знаходиться пасажир. Другий потяг не можна вважати матеріальною точкою, тому положення другого потягу будемо визначати за координатою голови потягу.

Відлік часу почнемо у той момент, коли пасажир побачить голову потягу, завершимо відлік часу, коли пасажир побачить хвіст потягу. Рух другого потягу є поступальним, прямолінійним і рівномірним, тому рівняння руху має вигляд S = Vt, де, V – швидкість другого потягу відносно нерухомої системи відліку, тобто відносно першого потягу. По закону додавання швидкостей маємо: V = V_з+ V₂ ,

де V₂ ­швидкість другого потягу відносно Землі, V_з швидкість Землі відносно першого потягу. Беручи проекції векторів на вісь ОХ, отримаємо для координати голови другого потягу рівняння: x = (v₂ + v₃)t. Замінив v₃ на v₁, отримаємо: х = (v₂ + v₁)t.

Коли пройде 6 с, координата голови другого потягу буде дорівнювати його довжині, тому

L₂ = (v₂ + v₁)t.

[L] = м с^-1 с = м;

v₁ = 36 км/год = 10 м/с; v₂ = 54 км/год = 15 м/с;

L₂ = (10 + 15) 6 = 150 (м).

6.2. Які швидкість, переміщення і пройдений шлях відносно плота і берега, якщо людина проходить перпендикулярно течії ріки за 20 с з одного краю до іншого та назад, при цьому плот шириною 10 м рухається за течією зі швидкістю 1 м/с?

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗКУ

У системі відліку, пов’язаній із плотом, пройдений шлях дорівнює удвоєній ширині плота, тобто 20 м. Швидкість у цій системі відліку: v=L/t або 1 м/с. Щоб визначити переміщення, задамо напрямок вісі координат від одного краю плота до другого вздовж траєкторії шляху людини. Тоді S_S=S₁+S₂ (тут і далі жирним шрифтом позначено вектора). Але S₁= -S₂, звідки, сумарне переміщення дорівнює нулю. У системі відліку, пов’язаній із берегом: v_S=v₁+v₂, де v₁ - швидкість плота відносно берега, v₂ – швидкість людини відносно плота. Оскільки ці вектори перпендикулярні, то загальна швидкість знаходиться із теореми Піфагора і дорівнює 1,41 м/с. Переміщення людини відносно берега дорівнює геометричній сумі векторів S₁ и S₂. Абсолютне значення переміщення: S_S = v₁·t або 20 м. Пройдений шлях: L=v_S·t або 28 м.

6.3. Який модуль і напрямок швидкості має точка, що рухається згідно рівняння

x = x₀ +At; y = y₀ + Bt,

де А = 30 м/с, а В = 40 м/с?

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗКУ

Визначемо проекції вектора швидкості на координатні вісі

V_x = dv /dt = (x₀ +At) = A

V_y = dv /dt = (y₀ + Bt) = B

Тоді V =  (V_x² + V_x²) =  (V_x² + V_x²) =  (А² + В²) = 50 м/с;

tg = B / A = 4/3;  = аrсtg  0,927 рад.

6.4. Який момент інерції циліндрічної муфти відносно вісі, що зпівпадає з її віссю симетрії, якщо маса муфти 2 кг, внутрішній радіус 0,03 м, а зовнішній – 0,05 м?

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗКУ

Момент інерції тіл довільної форми можна знайти за формулою

J = dmr² = dVr² = 2hrr²dr = (2h / 4)r⁴_r^R = 2h / 4 [R⁴ - r⁴] = (m/2)(R² +r²) = (2 кг/2)(2510^-4+910^-4)м²=3410^-4кгм².

6.5. Яку частину від загальної кінетичної енергії має кінетична енергія поступального руху кулі, що котиться по горизонтальній площині?

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗКУ

Кінетичну енергію тіл довільної форми, що котяться по горизонтальній площині можна знайти за формулою

Е_к = Е_кп + Е_ко

де Е_кп – кінетична енергія поступального, а Е_ко – кінетична енергія обертального руху, звідки

Е_кп / Е_к = (mv²/2) / (mv²/2 + Jw² /2) =(mv²/2) / (mv²/2 + 2mr²v² /5 r²)  0,714

6.6. Скільки часу пройде до повної зупинки з моменту виключення вентилятору, що обертається зі швидкістю n = 900 об/хв, якщо після виключення вентилятор, обертаючись рівно-сповільнено, зробив до зупинки N = 75 обертів?

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗКУ

Кут повороту вентилятора при рівносповільненому русі

 = ₀t₁ – (t₁²)/2,

де t₁ – час, що пройшов від виключення вентилятора до його повної зупинки;  - кутове прискорення; ₀ =2 n /60 рад/с – кутова швидкість;  - кут обертання за час t₁. Кутова швидкість обертання вентилятора при рівносповільненому русі

 (t) = ₀ – t.

При t = t₁ кутова швидкість  (t) = 0, звідки кутове прискорення

 = ₀ / t₁.

Після підстановки  до формули розрахунку кута поворота, знаходимо

 = ₀t₁ – (₀ t₁²)/2 t₁ = ₀ t₁/2,

звідси

t₁ = 2 / ₀ = 2N602 / 2 n = 10 c/

6.7. Як зміниться кінетична енергія диску за проміжок часу від t₁= 1 с до t₂= 2с, якщо диск масою 1 кг і радіусом 0,2 м обертається згідно закону

 = Аt + Вt² +Сt³,

де А = 2 рад/с; В = 1 рад /с²; С = 1 рад / с³?

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗКУ

E_к = E_к(t₂) - E_к(t₁) = [mr²²(t₂) / 2 - mr²²(t₁) / 2] = (mr² / 2)[ ²(t₂) - ²(t₁)]

Визначимо кутову швидкість

 = d /dt = (Аt + Вt² +Сt³) = А + 2Вt +3Сt²

Звідки (t₁) = 2 рад/с + 2 рад/с + 3 рад/с = 7 рад/с

(t₂) = 2 рад/с + 4 рад/с + 12 рад/с = 18 рад/с

Підставимо результати, що отримано у формулу для визначення зміни кінетичної енергії

E_к = (mr² / 2)[ ²(t₂) - ²(t₁)] = 5,5Дж

6.8. Яку кутову швидкість буде мати кругла горизонтальна платформа після переходу людини масою 60 кг від краю платформи до центра, якщо платформа має масу 100 кг і обертається навколо вертикальної вісі з кутовою швидкістю 50 рад/с?

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗКУ

Згідно закону збереження моменту кількості руху

J₁₁ = J₂₂

де J₁– момент інерції платформи з людиною на краю; J₂ - момент інерції системи, коли людина знаходиться у центрі.

Так як

J₁ = m₁R²/2 + m₂R²; J₂ = m₁R²/2, то

(m₁R²/2 + m₂R²) ₁ = m₁₁ R²/2 Звідки

₂ = (1 + 2m₂ /m₁)₁ = 110 рад/с

АЛГОРИТМ ВИКОНАННЯ роботи.

7.1.Разом з викладачем студенти обговорюють основні положення теми та розбирають неясні питання. Викладач визначає рівень теоретичної підготовки студентів по питанням, що наведені у п.6.

7.2. Студенти самостійно вирішують задачі і пропоновані викладачем тести.

7.3. Викладач підводить підсумки і дає рекомендації для підготовки до наступного заняття.