1. Постановка задачи гармонического анализа

Из простейших периодических функций могут быть составлены более сложные. При этом составляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, так как сложение синусоидальных величин одной и той частоты не дает ничего нового, а приводит к синусоидальной величине той же частоты.

Естественно, встает обратный вопрос: можно ли данную периодическую функцию f(t)периода Т представить в виде суммы конечного или хотя бы бесконечного множества синусоидальных величин. Как известно из классического анализа, по отношению к достаточно широкому классу функций на этот вопрос можно дать утвердительный ответ, то есть для них имеет место разложение в тригонометрический ряд или ряд Фурье.

Геометрически это означает, что график периодической функции получается путем наложения ряда синусоид. Если же истолковать каждую синусоидальную величину механически, как представляющую гармоническое колебательное движение, то можно также сказать, что в этом случае сложное колебание (каковыми являются все колебания, встречающиеся в природе), характеризуемое функцией f(t),разлагается на отдельные гармонические колебания. В связи с этим отдельные синусоидальные величины, входящие в состав тригонометрического ряда, называют гармоническими составляющими функцииf(t), или просто ее гармониками (первой, второй и т.д.) Сам процесс разложения периодической функции на гармоники носит названиегармонического анализа[27].

Итак, гармоническим анализом называют операцию разложения заданной периодической функции f(x) в ряд Фурье. Если функция f(x) задана аналитически, то задача ее гармонического анализа полностью решается с помощью известных из классического анализа формул Эйлера-Фурье для вычисления коэффициентов ряда Фурье. Однако в огромном числе практических задач подлежащая анализу функция f(x) оказывается заданной в виде таблицы, полученной в результате измерений, или в виде кривой, вычерченной самопишущим прибором. Тогда точное вычисление коэффициентов Фурье по формулам Эйлера-Фурье невозможно. Таким образом, в нашем случае задача гармонического анализа заключается в построении практически удобных методов для приближенного определения коэффициентов ряда Фурье или для непосредственного вычерчивания гармоник различных порядков для функции, заданной таблично.

2. Разложение функций в ряд Фурье

Будем предполагать, что функция f(x)– периодическая, с периодом 2(f(x+2р)=f(x)). Как известно, это всегда обеспечивается соответствующим изменением масштаба по осиОх.

Основная задача гармонического анализа состоит в представлении функции f(x)в виде ряда:

. (1)

Полагая

,,, (2)

ряд (1) можно переписать в виде:

(3)

Здесь с_n– амплитуда гармоники,_n– фаза. Коэффициенты ряда (1) – ряда Фурье – определяют по формулам Эйлера-Фурье:

(4)

Пусть промежуток от 0 до 2разделен точками

x₁, x₂, …, x_k-1 (x_i=2i/k)

на kравных частей и пусть известны соответствующие ординаты –

y₀, y₁, y₂,…, y_k-1, y_k=y₀.

Тогда для вычисления интегралов в формулах (4) можно применить различные приближенные методы. Так, по формуле трапеций получим:

.

Отсюда в силу того, что y₀=y_k,

. (5)

Аналогично для определения коэффициентов a_nиb_nформула трапеций дает:

, (6)

, (7)

Окончательно получим:

Последние формулы носят название формул Бесселя. Они могут быть получены из формул для коэффициентов Фурье (4) функции f(x),если вычислять входящие в них интегралы приближенно, используя формулу трапеций, полагаяf(0)=f(2) [4].

Заметим, что значения а₀, a_k, b_k, полученные по формулам Бесселя, будут близки к значениям коэффициентов Фурье функции только при относительно небольшихк. В остальных случаях расхождение будет больше.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

Задание:Разложить заданную функцию в ряд Фурье.